Paradoxon?: unerwartete Prüfung bzw. Hinrichtung

[Trestone]

Hallo,

das folgende Paradoxon ist ja ein "Klassiker":

Ein Lehrer kündigt seiner Klasse an:
"1) An einem der Schultage (Mo - Fr) nächste Woche werde ich Euch eine Prüfung schreiben lassen.
2) Dabei sage ich Euch zu, dass Euch die Prüfung überraschen wird - d.h. sie findet nicht statt, wenn ihr vor Unterrichtsbeginn an diesem Tag mit ihr rechnet.
3) Überlegt nun, an welchem Tag ich die Prüfung wohl ansetze..."

Die Schüler überlegen wie folgt:
A) Wenn wir bis Donnerstag Abend keine Prüfung geschrieben hätten, wüßten wir ja am Freitag Morgen nach 1), dass sie am Freitag stattfinden wird, daher gilt nach 2), dass sie nicht am Freitag stattfinden kann.
B) Da wir den Freitag ausgeschlossen haben, wüßten wir am Mittwoch Abend, dass sie am Donnerstag erfolgen müßte, also ist auch der Donnerstag ausgeschlossen.
C) Analoges gilt für Mittwoch, Dienstag und dann auch Montag.
D) Also ist kein Tag möglich, ohne die Bedingungen zu verletzen.

Aber der Lehrer läßt die Prüfung einfach am Mittwoch schreiben, und überrascht damit die Klasse...

Das Paradoxon wird auch oft mit einem Gefangenen formuliert, dem eine überraschende Hinrichtung in der nächsten Woche angekündigt wird.

Eine richtig befriedigende Auflösung des Paradoxons habe ich noch nicht gefunden. (Gute Links?)
Allerdings vermute ich, dass meine Formulierung noch nicht exakt genug ist.
Denn die Schüler könnten ja auch (ohne sich durch Logik verwirren zu lassen) einfach an jedem Morgen die Prüfung erwarten (und sie so verhindern).

Aber hier liegt wohl auch der Lösungsschlüssel:
Sobald man (wie auch immer) einen Tag als unmöglich ausgeschlossen hat (oder genauer zu haben glaubt), ist eine Überraschung genau an diesem Tag möglich.
Daher wäre der Glaube an den ausgeschlossenen Freitag logisch gesehen trügerisch - und damit die ganze Argumentationskette der Schüler.

Aber ist die Auflösung wirklich so einfach - oder gibt es eine andere Formulierung, die echt paradox ist?
Und weshalb überzeugt uns die obige Ausschlussargumentation zunächst so leicht?

Gruß
Trestone

 

[the_midget]

Ich glaub das Problem ist, daß es immer nur um wenn Aussagen geht.

Wie du ja gesagt hast: Wenn bis Donnerstag Abend keine Prüfung stattgefunden hat, kann sie nicht am Freitag sein.

Man streicht also den Freitag, der kanns schon mal nicht sein. Dann macht man weiter: Wenn man sie nicht am Freitag schreibt, und bis Mittwoch Abend keine Prüfung war, kann sie auch nicht am Donnerstag stattfinden usw und das wird dann für jeden Tag gemacht, und dann sind scheinbar alle Tage ausgeschlossen.

Dabei sind ja nicht alle Tage ausgeschlossen. Denn Freitag fällt ja nur weg, wenn bis Donnerstag keine Prüfungen waren. Der Donnerstag fällt nur weg, wenn der Freitag weggefallen ist und bis mittwoch keine Prüfungen waren usw.

Man kann eben nicht die erste Schlussfolgerung wie eine Kette anordnen, die lauter und-bedingungen hat, während der Lehrer angekündigt hat, die Arbeit an einem von 5 Wochentagen zu schreiben, was ja eher eine Oder-Bedingung ist.

So hab ich mir das jedenfalls zurecht gedacht, damit ich nicht ständig drüber nachdenken muss ;-)



gruß

midget

 

[antimagnet]

meine erklärung:

2) Dabei sage ich Euch zu, dass Euch die Prüfung überraschen wird - d.h. sie findet nicht statt, wenn ihr vor Unterrichtsbeginn an diesem Tag mit ihr rechnet.

dieser satz ist widersprüchlich. die schüler können nix daraus folgern bzw. alles. er hätte auch sagen können: "2) 1+1=3". bzw. wenn satz 2 lauten würde: "ich werde die arbeit irgendwann schreiben", wäre alles in butter.


was meinst du eigentlich mit "paradoxon auflösen"? was kann man denn an a=~a auflösen? :gruebel:

 

[Aphorismus]

Ich sehe das wie antimagnet. Eine Prüfung, von der man ankündigt, dass sie jemanden überraschen wird, wenn man gleichzeitig einen festen zeitlichen Rahmen wie "in diesem Schuljahr" angibt, kann gar nicht mehr überraschen. In der Konsequenz bedeutet dies, dass die Paradoxie nur scheinbar und auf Grund von Sprache, aber nicht notwendigerweise auf logischer Ebene, existiert.

 

[Trestone]

Ich glaub das Problem ist, daß es immer nur um wenn Aussagen geht.
...
Denn Freitag fällt ja nur weg, wenn bis Donnerstag keine Prüfungen waren. Der Donnerstag fällt nur weg, wenn der Freitag weggefallen ist und bis mittwoch keine Prüfungen waren usw.

Man kann eben nicht die erste Schlussfolgerung wie eine Kette anordnen, die lauter und-bedingungen hat, während der Lehrer angekündigt hat, die Arbeit an einem von 5 Wochentagen zu schreiben, was ja eher eine Oder-Bedingung ist.

Hallo midget,

Deiner Argumentation kann ich nicht ganz folgen,
denn der Freitag steht doch nach Konstruktion nur als Prüfungstag zur Debatte, "wenn" vorher tatsächlich (und nicht nur hypothetisch) noch keine Prüfung stattfand.

Lassen wir die Verankerung (Freitag scheidet aus) einmal gelten (ich habe sie ja bezweifelt), diese ist gerade nicht von Hypothesen bzgl der anderen Tage abhängig!

Der Schluss, dass dann auch der Donnerstag analog ausscheidet, erscheint mir gültig: Jetzt hat man ja die gleiche Argumentation wie für den Freitag für den jetzt letztmöglichen Tag der Woche. Usw.

Daher versuche ich den Argumentationsfehler ja schon in der Verankerung, d.h dem Freitagsausschluss zu finden.

Man kann auch einen verkürzten Fall betrachten:

Ein Lehrer kündigt an:
"1b)Am nächsten Freitag werden wir eine Prüfung schreiben.
"2b) Die Prüfung wird aber nur geschrieben, wenn sie Euch an diesem Tag überrascht."

Wenn die Schüler sich nun sicher fühlen, dass am Freitag keine Prüfung geschrieben wird, weil sie ja sicher eine erwarten, kann der Lehrer sie am Freitag doch damit überraschen...

Hier sieht man meiner Ansicht nach, dass der Kern des Paradoxons nicht in den mehrfachen Wochentagen liegt und diese nur vom Kern ablenken.

Mir scheint das Paradoxon in der Schülerhaltung zu liegen:
"die Schüler sich nun sicher fühlen, dass am Freitag keine Prüfung geschrieben wird, weil sie ja sicher eine erwarten"
d.h. sie haben zugleich zwei einander ausschließende Meinungen.

Hier fängt es nun an, spannend zu werden.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

meine erklärung:

2) Dabei sage ich Euch zu, dass Euch die Prüfung überraschen wird - d.h. sie findet nicht statt, wenn ihr vor Unterrichtsbeginn an diesem Tag mit ihr rechnet.

dieser satz ist widersprüchlich. die schüler können nix daraus folgern bzw. alles. er hätte auch sagen können: "2) 1+1=3". bzw. wenn satz 2 lauten würde: "ich werde die arbeit irgendwann schreiben", wäre alles in butter.


was meinst du eigentlich mit "paradoxon auflösen"? was kann man denn an a=~a auflösen? :gruebel:

Hallo antimagnet und Aphorismus,

vielleicht kann Euch meine Einengung der Ankündigung auf den Freitag (s.o.) überzeugen, dass doch ein Paradoxon vorliegt und nicht nur ein einfacher Widerspruch.
Zudem wäre noch zu erklären, weshalb uns das ganze so verwirrt und verblüfft, wenn es sich nur um widersprüchliche Aussagen handeln würde...

Gruß
Trestone

 

[Hosea]

Trestone schrieb :

Ein Lehrer kündigt an:
"1b)Am nächsten Freitag werden wir eine Prüfung schreiben.
"2b) Die Prüfung wird aber nur geschrieben, wenn sie Euch an diesem Tag überrascht."

Ein sehr kluger Lehrer vorneweg, so eine Strategie gibt es. Ich würde es als einsichtfördernde Aussage/Paradoxum bezeichnen...

Die Botschaft der Aussage bzw Zweck sollte sein, das der Lehrer weiß das die Schüler, wenn er die Aussage alleine tätig "Freitag wird eine Arbeit geschrieben", erst Donnerstag anfangen zu lernen (zumindestens ein großer Teil, mich eingeschlossen).

Das "überrascht" im Paradoxem Zusammenhang bleibt tief hängen, und somit wird wird ein Teil der Schüler sich jeden Tag auf die Arbeit vorbereiten, auch wenn die Arbeit letztendlich Freitag geschrieben wird, sind die Schüler gut/besser vorbereitet.

Lg Hosea

 

[the_midget]

Deiner Argumentation kann ich nicht ganz folgen,
denn der Freitag steht doch nach Konstruktion nur als Prüfungstag zur Debatte, "wenn" vorher tatsächlich (und nicht nur hypothetisch) noch keine Prüfung stattfand.

Ja eben genau das sag ich doch.

Lassen wir die Verankerung (Freitag scheidet aus) einmal gelten (ich habe sie ja bezweifelt), diese ist gerade nicht von Hypothesen bzgl der anderen Tage abhängig!

Ja sag ich doch auch. Sie ist es nicht, aber man (oder vielleicht nur ich?) denkt sie wäre es.

Der Schluss, dass dann auch der Donnerstag analog ausscheidet, erscheint mir gültig: Jetzt hat man ja die gleiche Argumentation wie für den Freitag für den jetzt letztmöglichen Tag der Woche. Usw.

Ja aber der Donnerstag scheidet ja nur aus, wenn bis mittwoch abend keine Prüfung war. Wenn die Prüfung am Dienstag gewesen wäre, hätte sich das ja schon erledigt. Und das hätte ja sein können. Man kann die ganzen Tage also immer nur rückblickend streichen, wenn bis dahin keine Prüfung gewesen wäre, aber in Wirklichkeit haben die Schüler ja noch die ganze Woche vor sich. Eigentlich ist jeder Prüfungstag ein seperater Ereignisstrang, aber wenn man das Rätsel lösen will, vermischt man diese Ereignissstränge. Letztlich hat man bevor die Woche rum ist nicht genug Informationen um zu entscheiden welcher Tag es sein muss.

Daher versuche ich den Argumentationsfehler ja schon in der Verankerung, d.h dem Freitagsausschluss zu finden.

So wie ich das sehe, liegt der Fehler eben genau darin, daß man für den Freitagsausschluss annehmen muss, das mo-do keine Prüfung stattgefunden hat. Und wenn man den Freitag gestrichen hat, fällt der Donnerstag (und damit die anderen Tage) nur weg, wenn man am Mo schon wüsste, daß bis einschliesslich Mittwoch keine Prüfung kommt.
Aber das weiss man ja nicht.

Man kann auch einen verkürzten Fall betrachten:

Ein Lehrer kündigt an:
"1b)Am nächsten Freitag werden wir eine Prüfung schreiben.
"2b) Die Prüfung wird aber nur geschrieben, wenn sie Euch an diesem Tag überrascht."

Ja aber das ist eben so eine unendliche Folge: Die Schüler wissen, daß am Freitag eine Prüfung geschrieben wird, deswegen sind sie nicht überrascht. Da sie nicht überrascht wären, kann sie also nicht am Freitag stattfinden, weshalb es sie dann doch wieder überraschen würde, wenn sie am Freitag geschrieben wird, so daß die Prüfung doch wieder am Freitag sein könnte usw...

Keine Ahnung wie man sowas mit der Sprache der Logik ausdrückt, da bin ich nicht sehr bewandert.

Mir scheint das Paradoxon in der Schülerhaltung zu liegen:
"die Schüler sich nun sicher fühlen, dass am Freitag keine Prüfung geschrieben wird, weil sie ja sicher eine erwarten"
d.h. sie haben zugleich zwei einander ausschließende Meinungen.

Hmm, dann würde ich mich doch eher den anderen anschliessen und sagen , daß die Regeln Widersprüchlich sind und dadurch die Erwartungen der Schüler eben auch, weil sie diesen Regeln folgen.

Kann aber auch sein, daß du auf was ganz anderes hinaus willst, daß ich noch nicht kapiert hab.

gruß

midget

 

[antimagnet]

vielleicht kann Euch meine Einengung der Ankündigung auf den Freitag (s.o.) überzeugen, dass doch ein Paradoxon vorliegt und nicht nur ein einfacher Widerspruch.

uff, ich glaub da bin ich in logik nicht gut genug: was ist denn der unterschied zwischen einem widerspruch und einem paradoxon?

an deiner verkürzten beschreibung (ich kanns sogar noch kürzer: "morgen werden wir überraschend eine prüfung schreiben") sieht man doch, dass der lehrer mist erzählt, aus dem die schüler rein gar nix folgern können (bzw. alles).

:gruebel:

damit hast du natürlich recht, dass die schüler daraus folgern können: wir können uns sicher sein, keine prüfung zu schreiben, wenn wir uns sicher sind, dass wir eine schreiben. sie könnten aber auch alles andere daraus folgern... bzw. was bringts, aus einem paradoxon ein weiteres folgern zu können?

 

[Trestone]

an deiner verkürzten beschreibung (ich kanns sogar noch kürzer: "morgen werden wir überraschend eine prüfung schreiben") sieht man doch, dass der lehrer mist erzählt, aus dem die schüler rein gar nix folgern können (bzw. alles).

:gruebel:

damit hast du natürlich recht, dass die schüler daraus folgern können: wir können uns sicher sein, keine prüfung zu schreiben, wenn wir uns sicher sind, dass wir eine schreiben. sie könnten aber auch alles andere daraus folgern... bzw. was bringts, aus einem paradoxon ein weiteres folgern zu können?

Noch ein Formulierungsversuch:
"Morgen werden wir evtl. eine Prüfung schreiben.
Genau dann, wenn Ihr morgen früh logisch glaubhaft sagt, eine zu erwarten, werden wir keine schreiben."

1. Fall: Die Schüler sagen, dass sie keine Prüfung erwarten (oder sagen nichts oder irgendeinen anderen Satz als eine Prüfung zu erwarten)
Der Lehrer argumentiert: Dies ist eindeutig nicht der Fall, in dem die Prüfung entfällt, also schreiben wir eine.
(Euer Satz ist zwar evtl. auch nicht logisch glaubhaft, macht dazu aber nichts)

2. Fall: Die Schüler sagen, dass sie eine Prüfung erwarten.
Der Lehrer argumentiert: Wenn dies logisch glaubhaft ist, darf ich keine schreiben lassen. Das ist aber logisch hergeleitet und Euch daher bekannt.
Daher ist Euer Standpunkt nicht glaubhaft - und daher schreiben wir eine Prüfung.
Die Schüler protestieren: "Genau das hatten wir doch erwartet. Es war also doch logisch glaubhaft!"
Der Lehrer: Wenn ich deshalb keine Prüfung abhalten darf, war auch das wieder ableitbar...

Ich fürchte, dass sie in einem logischen Patt landen, einer Paradoxie.

Vermutlich gibt es auch eine Formulierung, bei der es immer eine Prüfung gibt (d.h. der Lehrer ohne Widerspruch oder Paradoxie handeln kann)?

Was man auch untersuchen könnte, ist ob die Schüler eine Meinung haben können, die sie aber nicht äußern dürfen - oder ob sie ihre eigene Meinung gar nicht logisch konsistent kennen können?

Gruß
Trestone

 

[Mr. Anderson]

Vielleicht können wir das Rätsel etwas modifizieren:

Der Lehrer sagt: "Wenn Ihr mit der Prüfung rechnet, dann drückt bitte am entsprechenden Tag vor Unterichtsbeginn auf diesen Knopf. Daraufhin leuchtet dann eine Lampe.
Wenn ich das Klassenzimmer betrete und sehe die Lampe leuchten, dann würde ich das Beweis ansehen, dass Ihr mit der Prüfung gerechnet habt, und würde sie dann nicht schreiben.
Aber Obacht: Ihr könnt diesen Knopf nur ein einziges Mal betätigen."

Allerdings wäre das unfair, sofern man dem Lehrer nicht die selbe Einschränkung auferlegt wie den Schülern: er müsste sich auf einen bestimmten Tag festlegen.

Was passiert nun?

 

[Shishachilla]

Na ganz einfach, da die Schüler bekanntermaßen schlaue Schüler sind, betätigt jeden Tag ein anderer den Knopf, so bringt man ganz schnell zwei Monate rum, ohne eine Arbeit geschrieben zu haben .



Übrigens kann ich mich anti nur anschließen. Da der Lehrer die Arbeit für einen so kurzen Zeitraum wie eine Woche ankündigt, ist die Überraschung sowieso hin. Von daher darf er sie gar nicht schreiben. Wenn die Schüler das aber denken, kann er sie natürlich schreiben wann er will und sie wären dementsprechend überrascht.

Die Sache mit dem Ausschlussverfahren der Wochentage halte ich für gar nicht so gut. Wenn ich den Donnerstag ausschließe, nachdem ich den Freitag ausgeschlossen habe, dann fällt doch meine Begründung für Freitag wieder weg, oder?? Und da er gesagt hat, dass er sie in dieser Woche schreibt, müssten die Schüler schon etwas weiter denken, als einfach jeden Tag auszuschließen.

 

[Mr. Anderson]

Na ganz einfach, da die Schüler bekanntermaßen schlaue Schüler sind, betätigt jeden Tag ein anderer den Knopf, so bringt man ganz schnell zwei Monate rum, ohne eine Arbeit geschrieben zu haben

Nee geht ja nicht. Der Knopf darf nur einmal betätigt werden.

 

[Shishachilla]

achso, schade.
Und der Lehrer darf sich von vornerein auch nur einen Tag aussuchen, den er dann einhalten muss?? Also ich würde Montag morgens drücken, und für Dienstag-Freitag auf ne Arbeit vorbereitet sein

 

[Mr. Anderson]

Sagen wir mal, der Lehrer kann sich ebenfalls am Morgen vor dem Unterricht entscheiden - ohne allerdings die Wahl der Schüler zu kennen; ebenso wissen die Schüler nichts von der Wahl des Lehrers.

Eine andere Variante wäre, dass sich beide Parteien schon vorher auf einen Tag festlegen müssen, also bevor die fragliche Woche angefangen hat.