Alternative Logik: Metastufenlogik konsequent möglich?

[Trestone]

interesant, aber liefert diese Logik denn auch [verlässliche] Aussagen?

Ist sie denn nicht nur eine erweiterung der Klassischen Logik?

Absolute Aussagen liefert die Stufenlogik kaum: Die Wahrheit gilt ja nur immer relativ zu einer Stufe, Aussagen über alle Stufen sind wohl auch nur je Stufe möglich.

Das Ziel meines Versuches ist ja gerade eine Erweiterung/Abänderung der klassischen Logik - mit möglichst geringen Änderungen soll eine "Verbesserung" erzielt werden.
Spannend ist dabei der Maßstab, nach dem die "Verbesserung" bewertet wird. Hier nenne ich Widerspruchsfreiheit und Ästhetik, aber natürlich sind diese Maßstäbe subjektiv.
Andererseits: Wenn gar keine Gemeinsamkeiten mit der klassischen Logik mehr da wären, warum sollte ich das ganze dann eine "Logik" nennen?

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Für mathematisch Interessierte hier eine Ergänzung zur Konstruktion der Menge der natürlichen Zahlen N:

1) Wir definieren zu jeder Menge z die Nachfolgermenge z´:
Vt: x e(t+1) z´: <-> x e(t) z v x = z .

Dabe ist "x=z" eine stufenübergreifende Eigenschaft und nur unproblematisch, wenn wie hier z schon definiert ist.

2) Wir bilden die Menge I aller in Stufe t induktiven Mengen m:
Vt: m e(t+1) I : <-> 0 e(t) m und ( z e(t) m -> z´e(t) m) .

3) Wir bilden den Durchschnitt über alle Elemente von I in allen Stufen,
das ergibt die Menge N:
Vt: n e(t+1) N : <-> Vd: Vm mit m e(d+2) I gilt: n e(t+1) m .

Man kann zeigen, dass N in allen Stufen t+1 die Peano-Axiome erfüllt.
Natürlich ist auch die Mengenbildung in 3) problematisch, da wieder über alle Stufen gegangen wird und eine Eigenschaft aus Stufe t+1 benötigt wird.
Aber ich hoffe, dass N trotzdem (und trotz Gödel) widerspruchsfrei auf eine Arithmetik erweiterbar ist.

Gruß
Trestone

 

[csac3731]

hallo trestone,
ich finde deinen ansatz höchst interessant. russell und whitehead haben einen ganz ähnlichen ansatz gemacht, nur integrierst du deinen formalismus in eine sehr schöne logik. da liegt aber vermutlich auch der haken: durch den massiven einsatz der aktual unendlichen natürlichen zahlen (auch zur formulierung der prädikatenlogik brauchen wir die nat. Zahlen, allerdings nur in einem potentiell unendlichen sinn) verlierst du den gödelschen vollsändigkeitssatz, obwohl du den unvollständigkeitssatz umgehen kannst. dieser schmale pfad zwischen skylla und charybdis, zwischen logischer vollständigkeit und mathematischer unvollständigkeit ist, zumindest für präd.logiken, nicht gehbar (vrgl PL zweiter stufe).
trotzdem bitte ich dich, mir über dein schönes system einige einzelheiten mitzuteilen, etwa an meine e-mail-adr.: csac371@uibk.ac.at

 

[Trestone]

Hallo csac3731 und alle Interessierten,

leider bin ich im heißen Sommer etwas weniger aktiv gewesen
und habe nur handschriftlich weitergeforscht.
Der Durchbruch zu den natürlichen Zahlen ist dabei noch nicht so ganz gelungen, wenn ich auch jetzt Aussagen "über alle t" weniger kritisch sehe und versuche sie konstruktiv einzubauen.

Aber auf Englisch habe ich das meiste alte schon einmal zusammengefasst,
leider erhielt ich im dortigen Forum keine Antwort:
http://www.debatescience.com/logics...russell-cantor-goedel.html?highlight=Trestone

Gruß
Trestone