Berechnung einer Polygonfläche

[Trasher]

Es geht um die Berechnung des Flächeninhaltes eines beliebigen n-Ecks.
Gegeben sind lediglich n Eckpunkte, ihre Reihenfolge gibt die Form des n-Ecks an.

[0,0]; [2,0]; [2,1]; [0,1] würde also ein Rechteck beschreiben, wobei in einem solchen einfachen Fall die Berechnung des Flächeninhaltes natürlich trivial ist.

Wie sieht es aber zum Beispiel aus, wenn solch ein Fünfeck gegeben ist:
[15, 0]; [90,25]; [90,65]; [55,90]; [0, 75] ?

Gibt es da einen einfachen Ansatz?


Grüße, Trasher.

 

[antimagnet]

was isn das für ein fünfeck, soll ich mir da jetzt ein koordinatensystem malen oder was?

 

[Kasimir]

Bitte genauer! Sind das jetzt Koordinaten oder Zahlen ohne Maßeinheiten? :gruebel:








Bahnhof?

 

[antimagnet]

lol

 

[hives]

in dreiecke zerlegen?

 

[Er4z3r]

Wenn ich mir das mit dem Rechteck so angucke, können das nur Koordinaten sein.

 

[Kasimir]

Die Frage ist jetzt wie sieht das Koordinatensytem aus im dem das "Objekt der Begierde" gezeichnet werde soll? x / -x und y / -y?

Du denkst doch etwa nicht Trasher ich werde das jetzt Zeichen, Ausrechnen und dann das Ergebniss Einscannen und dir per Mail zu schicken?




















Bahnhof?

 

[Er4z3r]

Wie meinst du das jetzt? Ich bin kein Mathegenie, aber links vom "/" steht immer x und Rechts y, oder nicht?

 

[Trasher]

was isn das für ein fünfeck, soll ich mir da jetzt ein koordinatensystem malen oder was?

Kannste tun. Tut aber eigentlich nix zur Sache. Der Algorithmus muß mit einer Punktmenge zurechtkommen, mehr steht nicht zur Verfügung.
Da eine Punktmenge eine Fläche eindeutig definiert und eine Fläche einen eindeutigen Flächeninhalt besitzt, muß diese Information reichen.

Die Fläche sieht beispielhaft so aus:

Bitte genauer! Sind das jetzt Koordinaten oder Zahlen ohne Maßeinheiten?

Das sind x-y-Koordinaten ohne Maßeinheiten. Wenn Dir die Lösung leichter fällt, dann nimm halt an, daß es sich um mm handelt.

in dreiecke zerlegen?

Ja, das war auch mein erster Gedanke, aber wie löst man die Sache mit den Überschneidungen? Denk dran, nicht ich muß den Flächeninhalt berechnen sondern ein Rechner.

 

[Kasimir]

Ein Pentagramm? :gruebel:




Was für ein Mathelehrer hast du?





Den Fürst der Finsternis?

 

[Trasher]

Ich wußte, daß das Pentagramm nicht unkommentiert bleiben würde.

 

[Suleiman]

Nach etwas Nachdenken ist mir ne allgemeine Lösungsmöglichkeit (mittels Integration) für das Problem eingefallen. Ich versuche mal, diese wiederzugeben:

Wir haben ein Fünfeck mit P1=[15|0]; P2=[90|25], P3=[90,65], P4=[55|90], P5=[0|75]

Zuerst kuckst du, welcher Punkt am meisten links in der Ebene liegt, also die kleinste X-Koordinate hat. In deinem Beispiel ist das P5. Dann überlegen wir uns, welcher Punkt am weitesten rechts in der Ebene liegt, also die größte X-Koordinate hat. In unserem fall sind das P2 und P3, wobei P3 eine größere Y-Koordinate hat.

Als nächstes verbinden wir die beiden (oder eben drei, manchmal auch vier) Eckpunkte, und zwar entlang der Linien des n-Ecks, in unserem Fall also einmal
P5-P4-P3 (diese Linie beschreibt den oberen Weg)
und
P5-P2 (diese Linie beschreibt den unteren Weg)
Die Verbindung P2-P3 ist in unserem Fall nicht wichtig.

Der nächste Schritt besteht nun darin, für diese beiden Verbindungslinien je eine Funktion, die diese beschreibt, zu finden. Das geht natürlich einfach über zusammengesetzte Funktionen.

Beginnen wir mit der Funktion für den oberen Weg (im folgenden o(x) genannt). Diese teilt sich auf in zwei Teilfunktionen, einmal für die Strecke P1-P4 (o1(x) im folgenden) und P4-P3 (o2(x) im folgenden)

o1(x) ist damit (x(pn) und y(pn) bezeichnen die x- bzw. y-Koordinaten der beiden Punkte):
o1(x)=(y(p4)-y(p5))/(x(p4)-x(p5)) * x + x(p5) für
o1(x)=(90-75)/(55-0)*x+0
o1(x)=3/11*x

und o2(x):
o2(x)=(y(p3)-y(p4))/(x(p3)-x(p4)) * x + x(p3)
o2(x)=(65-90)/(90-55) * x + 55
o2(x)=-5/7*x+55

Analog ergibt sich für die Funktion des unteren Wegs u(x):

u(x)=(y(p1)-y(p5))/(x(p1)-x(p5)) * x + x(p5)
u(x)=(0-75)/(15-0) * x + 0
u(x)=-5x

Bis jetzt noch mitgekommen? Gut, das war der einfache Teil . Jetzt wird nämlich integriert...

Der Trick ist nämlich jetzt einfach, die Fläche unter der oberen Linie zu berechnen, die ja genau die Fläche des Fünfecks plus die Fläche des Bereichs zwischen Fünfeck und x-Achse ist, und dann davon die Fläche unter der unteren Linie, die ja genau die Fläche zwischen Fünfeck und x-Achse ist, abzuziehen. Damit erhält man dann die Fünfecksfläche.
Also (Edit: Die Fragezeichen sind Integralzeichen, blödes Opera):
A=?o(x)dx - ?u(x)dx, beide Integrale natürlich im Bereich des Fünfecks, also von x(p5) nach x(p2) bzw. x(p3). Für das Integral von o(x) erhalten wir:

?o(x)dx = ?o1(x)dx + ?o2(x)dx, natürlich wieder in den entsprechenden Geltungsbereichen. Und weiter:

?o(x)dx=?(3/11*x)dx+?(-5/7*x+55)dx
?o(x)dx=[3/22*x²] + [-5/14*x²+55x], beides in den Geltungsbereichen.
Also:
?o(x)dx=3/22*x(p4)²-3/22*x(p5)² - 5/14*x(p3)²-55*x(p3) + 5/14*x(p4)^2 + 55*x(p4)
?o(x)dx=...

Das selbe für das untere Integral und du bist fertig.

Also Zusammenfassung:

• Wege bestimmen
• Wegfunktionen bestimmen
• Integrale ausrechnen
• Integrale voneinander abziehen
• Fertig

Eigentlich doch vergleichsweise einfach dafür, dass du den Flächeninhalt jedes beliebigen n-Ecks damit bestimmen kannst...

 

[Kasimir]

Bahnhof?
Wie gut das ich nur G-Kurs Mathe hatte

 

[Suleiman]

Eigentlich müsste man das auch mit dem Grundkurswissen Mathe verstehen können. Vielleicht hab ich mich einfach nich klar genug ausgedrückt bzw. hab tatsächlich am Ende abgebrochen, weil nur noch Zahlen einzusetzen waren. Im Zweifelsfall versuchen, jeden Rechenschritt nachzuvollziehen.

Wie gut, dass ich Physik LK hab bzw. studier.

 

[Kasimir]

Also wenn ich das hier Lese mein lieber Suleiman

?o(x)dx=?(3/11*x)dx+?(-5/7*x+55)dx
?o(x)dx=[3/22*x²] + [-5/14*x²+55x], beides in den Geltungsbereichen.
Also:
?o(x)dx=3/22*x(p4)²-3/22*x(p5)² - 5/14*x(p3)²-55*x(p3) + 5/14*x(p4)^2 + 55*x(p4)
?o(x)dx=...

1. Kopfschmerzen.
2. Bahnhof.

Gut das du so gut Mathe kannst und dir Mühe machst das zu Posten *Respekt*

 

[antimagnet]

ja mann.


du kannst die seiten des fünfecks als hypotenusen betrachten, mit parallelen der koordinatenachsen als katheten. die fläche dieser dreiecke ist 1/2*a*b, oder?

dann malst du ein rechteck um dein fünfeck drumrum, und zwar so, dass eine kante des fünfecks mit einer kante des rechtecks übereinstimmt und die anderen drei ecken die kanten des rechtecks berühren.

fläche ausrechnen und die dreiecksflächen abziehen und du hast die fläche des fünfecks.

ich kann dir das jetzt nicht in ne formel bringen, aber mal mit deinen koordinaten beschreiben.

die dreiecke gehen

15/0 90/0 90/25
90/65 90/90 55/90
55/90 0/90 0/65
0/65 0/0 15/0

das rechteck außen:

0/0 90/0 90/90 0/90

hat also die größe 90*90=8100

die dreiecke

(90-15)*25 /2=937,5
(90-65)*(90-55) /2=437,5
55*(90-75) /2=412,5
65*15 /2=487,5

zusammen:

2275.

das von 8100 abziehen.

8100-2275=5825.

das ist die größe deines fünfecks.

sach ich jetz ma so. rächenfehler vorbehalten.

nachtrag:
na toll, da wollt mir einer die lorbeeren wegschnappen - wahrscheinlich ists ihm auch noch gelungen.

hier ein bild zur illustration, wie ichs meine:

 

[Trasher]

Hm hm hmmm. Danke für die Anregungen.

Mit Funktionsdefinitionen à la y=f(x) bin ich bei dieser Sache schon frühzeitig auf die Nase gefallen, da zur y Achse parallele Strecken damit nicht eindeutig definiert werden können. Meine bisherigen Berechnungen erfolgen alle auf Basis von Vektorrechnung.

@Anti
Deine Lösung funktioniert in diesem Fall ganz gut, wie sieht es aber aus, wenn so etwas gegeben ist:

?

@Suleiman
So richtig steige ich bei Deinem Vorschlag nicht durch, falls Du Deine Berechnung aber auch auf diese Figur hier beziehen könntest, würde ich noch einmal versuchen, das zu verstehen.

 

[Trasher]

Am Ende läuft es wohl immer darauf hinaus, das Ding in Dreiecke zu zerlegen, was in einem konkreten Fall auch ganz einfach ist.

Aber rein algorithmisch steig ich da nicht durch, vor allem, weil es mehrere Varianten der Dreiecksaufteilung gibt.

 

[antimagnet]

also irgendwie müssen wir der kiste beibringen, was die roten flächen sind:

ha! schurke!

wenn man bei einem n-eck lediglich die koordinaten hat, ist die linienführung gar nicht immer klar!


oder?

:gruebel:

 

[antimagnet]

so, die hellblauen dreiecke sind die roten dreiecke punktgespiegelt, an der mitte der hypotenuse.

oder wir bringen der kiste bei, was die dunkelblauen rechtecke sind.

aber irgendwie müssen wir der kiste sagen, was innen und was außen ist, und da reichen doch nur koordinaten nicht aus, oder?

nachtrag:

oder wir bringen der kiste bei, was die dunkelblauen rechtecke sind.

das sieht ja nicht wirklich einfacher aus.