Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

[xoechz]

Hallo Leute!

Nehmen wir ein einfaches Ereignis - einen Münzwurf. Die Möglichen Ergebnisse (Kopf oder Zahl) treten mit einer Wahrscheinlichkeit von 50:50 auf. Natürlich gehe ich davon aus, daß die Münze nicht manipuliert wurde und daß auf Grund ihrer Beschaffenheit keine Seite favorisiert wird. Ein Stehenbleiben auf der Kante ist auch nicht möglich, deshalb echte 50:50.

Betrachtet man nun jeden Münzwurf als singuläres Ereignis, hat man immer eine 50:50 Chance zu gewinnen.

Doch wie sieht es bei einer Serie von Würfen aus? Die 50:50 Wahrscheinlichkeit besagt ja auch (falls ich mich nicht komplett irre), daß sich die Ergebnisse gleichmässig verteilen werden - ich also bei 100 Würfen 50 mal Kopf und 50 mal Zahl erhalten werde. Nicht sicher, aber wahrscheinlich, deshalb heissts ja Wahrscheinlichkeit.

Ich betrachte jetzt die Münzwürfe nicht singulär, sondern als Serie. Dabei bemerke ich, daß bei den letzten 7 Würfen das Ergebnis immer Kopf war. Nun, was ist jetzt? Auf was wette ich beim nächsten Wurf?

Singulär betrachtet ist das Ergebnis des nächsten Wurfes natürlich wieder 50:50. Aber da sich ja die Ergebnisse möglichst gleichmässig aufteilen sollen, wäre es nicht klüger auf Zahl zu wetten? Irgendwann muss ja Zahl kommen, weil sonst die Ergebnisverteilung nicht stimmt.

Wie denkt ihr darüber?

 

[a-roy]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Ein Stehenbleiben auf der Kante ist möglich!

 

[xoechz]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Sicher ist es möglich, aber in meiner Annhame nicht - aus Gründen der Einfachheit. Nimm einfach an, die Kanten sind so beschaffen, daß es nicht möglich ist. Angeführt hab ich das deswegen weil ich eben nur die Kopf - Zahl - Ergebnisse behandeln möchte.
Theoretisch wärs ja auch möglich, daß ein Vogel die Münze in der Luft schnappt und damit wegfliegt :-) Aber solch Dinge interessieren uns in meiner Annahne nicht. Es gibt nur Kopf oder Zahl.

 

[a-roy]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

xoechz, ich weiß nicht so recht, was du diskutieren möchtest?
Wahrscheinlichkeitstheorien?

 

[xoechz]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Nun, ich grübel schon lange Zeit darüber nach, ob sich in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit von "Zahl" erhöht, weil ja so oft schon "Kopf" das Ergebnis war. Wie gesagt, singulär betrachtet nicht, weil die Wahrscheinlichkeit für jeden Wurf bei 50:50 liegt.

Aber betrachtet man eine Serie von Würfen, und die Tatsache, daß sich die Ergebnisse gleichmässig verteilen sollen, liegt doch der Gedanke nahe, daß jetzt einfach mal "Zahl" kommen muss. Aber ich weiss nicht, ob diese Betrachtungsweise stimmt. Darum möchte ich gern eure Meinung darüber hören.

Noch genauer kann ichs eigentlich nicht beschreiben. Und daß es um Wahrscheinlichkeit geht, steht ja schon im Titel :-)

 

[Bona-Dea]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Hallo xoechz;

[Direkt-Zitat]

Das geht jedem Roulett Spieler so der versucht auf Farbe zu spielen, im Casino Austria z.B. war der Rekord 43 mal die gleiche Farbe hintereinander......

 

[Ein wilder Jäger]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Wir müssen uns entscheiden, welches Ereignis wir betrachten. Wenn wir das Ereignis "Würfelwurf" betrachten, ist jedes Ergebnis von eins bis sechs gleich wahrscheinlich. Betrachten wir das Ereignis "drei Würfelwürfe", sind die Ergebnisse zehn und elf weit wahrscheinlicher als die anderen, d.h. wenn man Dreiwurfgruppen erzeugt, wird man mehr Gruppen mit Ergebnis zehn oder elf bekommen als andere.

Wir dürfen aber nicht eine Zweiwurfgruppe erzeugen und dann einen Einzelwurf durchführen und erwarten, daß er seine Pflicht tut und diese Gruppe auf zehn oder elf bringt. Er kennt die Gruppe nicht.

So funktioniert auch Roulette. Die Bank setzt auf die ganze große Gruppe aller Würfe, die den Abend über (bzw. im Laufe von Tagen und Wochen) ausgeführt werden und kann sich darauf verlassen, daß sich Gewinn und Verlust die Waage halten. (Sie lebt von den Nullern.) Die einzelnen Spieler setzen auf einzelne Würfe, deren Ergebnis völlig unberechenbar ist.

 

[xoechz]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Sorry, könnt ihr bitte bei meinem Beispiel bleiben (Münzwurf)? Danke :-)

Ach ja, was mich an der ganzen Wahrscheinlichkeit immer stört, ist die Willkür der Messungen. Oder wie Jäger es genannt hat, die Betrachtung der Ergebnisse.
Da wirft man z.B. 10 mal, das Ergebnis ist etwas wie 7:3, dann schaut man sich die nächsten 20, 50, 100 oder gar 500 Würfe an - so lange bis man mal ein 50:50 Ergebnis erreicht. Dann hört man auf und sagt siehste, stimmt doch! Das ist doch alles sehr schwammig und willkürlich.

Und es beantwortet nicht meine Theorie, ob ein Ereignis B je wahrscheinlicher wird, desto öfter Ergebnis A eingetreten ist.

 

[Ein wilder Jäger]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Auch die Münze weiß nicht, daß Du sie einer Zehnwurfgruppe zugeordnet hast, in der es bis jetzt 0:9 für Zahl steht und daß sie eigentlich die Pflicht hätte, Kopf zu zeigen. Das Ergebnis bleibt zufällig.

 

[xoechz]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Aber die Tendenz bzw. Wahrscheinlichkeit besagt doch, daß Kopf und Zahl in etwa gleich oft geworfen werden. Und wenn jetzt sehr oft Kopf war, dann muss einfach mal Zahl kommen. Die Münze weiss es natürlich nicht, ich auch nicht. Aber die Wahrscheinlichkeit in der Wurfgruppe will es so.

 

[Viminal]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Du redest vom sogenannten "Gesetz der großen Zahlen" und dieses ist, wie recht vieles in der Stochastik, nicht ganz so intuitiv.

Zitat von Wikipedia:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim Werfen Kopf zeigt, betrage ½. Je häufiger die Münze geworfen wird, desto unwahrscheinlicher wird es, dass der Anteil der Würfe, bei denen Kopf erscheint (also die relative Häufigkeit des Ereignisses „Kopf“), um mehr als einen beliebigen vorgegebenen Wert von der theoretischen Wahrscheinlichkeit ½ abweicht. Dagegen ist es durchaus wahrscheinlich, dass die absolute Differenz zwischen der Anzahl der Kopf-Würfe und der halben Gesamtzahl der Würfe anwächst.

Insbesondere besagen diese Gesetze der großen Zahlen nicht, dass ein Ereignis, welches bislang nicht so häufig eintrat wie erwartet, seinen „Rückstand“ irgendwann ausgleichen und folglich in Zukunft häufiger eintreten muss. Dies ist ein bei Roulette- und Lottospielern häufig verbreiteter Irrtum, die „säumige“ Zahlenart müsse nun aber aufholen, um wieder der statistischen Gleichverteilung zu entsprechen. Es gilt damit kein Gesetz des Ausgleichs.

Ein Beispiel dazu: Angenommen, eine Serie von Münzwürfen beginne mit „Kopf“, „Zahl“, „Kopf“, „Kopf“. Dann wurde „Kopf“ bis dahin dreimal geworfen, „Zahl“ einmal. „Kopf“ hat gewissermaßen einen Vorsprung von zwei Würfen. Nach diesen vier Würfen ist die relative Häufigkeit von „Kopf“ ¾, die von „Zahl“ ¼. Nach 96 weiteren Würfen stelle sich ein Verhältnis von 47 Mal „Zahl“ zu 53 Mal „Kopf“ ein. Der Vorsprung von „Kopf“ ist also nach 100 Würfen sogar noch größer als nach vier Würfen, jedoch hat sich der relative Abstand von „Kopf“ und „Zahl“ stark verringert, beziehungsweise – und das ist die Aussage des Gesetzes der großen Zahlen – der Unterschied der relativen Häufigkeit von „Kopf“ zum Erwartungswert von „Kopf“. Der Wert liegt sehr viel näher beim Erwartungswert 0,5 als ¾ = 0,75.

Zitat von xoechz

Da wirft man z.B. 10 mal, das Ergebnis ist etwas wie 7:3, dann schaut man sich die nächsten 20, 50, 100 oder gar 500 Würfe an - so lange bis man mal ein 50:50 Ergebnis erreicht.

Ich weiß ja nicht wer die von dir beschriebenen Experimente gemacht hat, ein Mathematiker der die Bezeichnung auch verdient war es jedoch mit Wahrscheinlichkeit 1 nicht.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung erscheint aber in der Tat immmer etwas schwammig, dass geht aber auch nicht anders weil sie ganz einfach mit Wahrscheinlichkeiten arbeitet und nicht mit Absolutwerten.

Ansonsten würde ich dir empfehlen zu solchen Themen schlicht und ergreifend Mathematikbücher zu lesen.

 

[xoechz]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Tolle Antwort, jetzt kenn ich mich aus. Danke Viminal!

 

[Ehemaliger_User]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

logischer ist es dann bei "Kopf" zu bleiben auch wenn dann "Zahl" als nächstes kommt ...
weiter "Kopf" nehmen.

 

[BigBrian]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Hallo xoechz;



Das geht jedem Roulett Spieler so der versucht auf Farbe zu spielen, im Casino Austria z.B. war der Rekord 43 mal die gleiche Farbe hintereinander......

Darauf wollte ich auch anspielen. Es gibt ja die Idee, dass es ein narrensicheres Spielsystem geben würde. Ich setze 1€ auf Rot und wenn Rot kommt, dann habe ich gewonnen. Gewinne ich nicht, dann setze ich 2 €, 4€, 8€ (ich verdoppel so lange, bis Rot fällt) auf Rot bis ich gewinne. Nun - wäre dieses System erfolgreich, dann gäbe es keine Spielbanken. Das mathematische Werkzeug, um Licht ins Dunkel zu bringen, nennt sich Erwartungswert.

Der große Fehler, den viele begehen, lautet, dass man glaubt, es gäbe eine Ethik im Zufall. Machen wir ein Gedankenexperiment: 99 Mal warf ich die Münze und 99 Mal kam "Zahl". Jetzt habe ich zum 100. Mal die Münze geworfen, sie überschlägt sich, taumelt, dreht sich, überschlägt sich .... und droht "Zahl" anzuzeigen. Es gibt aber keinen Faktor names "Wahrscheinlichkeit" oder "Gerechtigkeit", der dies verhindern wird. Die Münze folgt einfach nur noch Bedingungen, die physikalisch determinierbar sind.

Wichtig ist die Feststellung, dass es sich um sogenannte Bernoullireihen handelt. Jedes Einzelereignis ist völlig unabhänging von allen Ereignissen zuvor. Selbst wenn 9 999 Mal "Zahl" vorher drann kam, gilt auch für den 10 00. Wurf, dass "Zahl" wieder mit 50 % Wahrscheinlich fallen wird.

 

[Viminal]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Darauf wollte ich auch anspielen. Es gibt ja die Idee, dass es ein narrensicheres Spielsystem geben würde. Ich setze 1€ auf Rot und wenn Rot kommt, dann habe ich gewonnen. Gewinne ich nicht, dann setze ich 2 €, 4€, 8€ (ich verdoppel so lange, bis Rot fällt) auf Rot bis ich gewinne. Nun - wäre dieses System erfolgreich, dann gäbe es keine Spielbanken. Das mathematische Werkzeug, um Licht ins Dunkel zu bringen, nennt sich Erwartungswert.

Das System funktioniert sogar auch, es hat aber in der Realität zwei Probleme:
1. Kann man durch die Verdopplung des Einsatzes schneller am Ende seines Budgets sein als dass man gewinnt und
2. Spielbanken haben i.d.R. ein Einsatzlimit - dadurch kann dann niemand mehr als z.B. 5000 Euro setzen und schon ist das Verdopplungssystem wieder besiegt

 

[Ein wilder Jäger]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Nun ja, egal wie oft ich verdopple, ich gewinne am Ende meinen ersten Einsatz, wenn ich denn überhaupt gewinne. In diesem Fall einen Euro. Daran ist noch keine Spielbank pleite gegangen. Im Grunde beruht das System darauf, um kleine Summen zu spielen, um Verluste durch kleine Gewinne wieder ausgleichen zu können. Was deshalb nichts bringt, weil die Bank bei jedem Wurf 1/37 der Einsätze kassiert, während der Rest zwischen den Spielern umverteilt wird. Wenn man sich durch möglichst viele Spiele an diesen Erwartungswert herantastet - verliert man 1/37 seines Geldes.

Und die Limits, die schon nach wenigen Verdopplungen erreicht sind, sollte man auch nicht vergessen...

 

[xoechz]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Warum kassiert die Bank 1/37? Meinst du wegen der Null? Also 37 Ergebnisse, aber nur 36 Setzmöglichkeiten? Auf die Null kann man doch setzen - oder nicht? Ich bilde mir ein, daß es geht, bin mir aber nicht sicher.

 

[BigBrian]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Ja - es geht. Aber obschon es 37 Zahlen gibt, gewinnst du nur das 36 fache.

 

[beast]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

[.....] Wenn man sich durch möglichst viele Spiele an diesen Erwartungswert herantastet - verliert man 1/37 seines Geldes.

Und die Limits, die schon nach wenigen Verdopplungen erreicht sind, sollte man auch nicht vergessen...

Für die Mit-Diskutanten...

Gemeint ist hier, meiner unmassgeblichen Meinung nach, die Gebühr in einer Höhe von 1/37tel auf den jeweiligen Einsatz, was mir mein Rechen-Knecht als

~2,702702702 %... zu erklären versucht...

Aber ich bin auch nur einer der Irren(den)...

 

[Nachbar]

AW: Gedanken zur Wahrscheinlichkeit

Ja - es geht. Aber obschon es 37 Zahlen gibt, gewinnst du nur das 36 fache.

Nein, Du gewinnst immer entsprechend der Wahrscheinlichkeit.
Es gibt 36 Zahlen (die Null wird nicht gezählt). > Wahrscheinlichkeit 1 : 35 > Gewinn: das 35-Fache des Einsatzes (wobei Dir ja auch der Einsatz weiterhin gehört).
Auch wenn Du auf die Null setzt gibt es nur das 35-Fache.