Mysteriöses Kugelrätsel! ;)

[SimoRRR]

Mal wieder was zum rätseln für Euch:

Man hat 12 Kugeln, eine Balkenwaage ohne Gewichtsanzeige oder Skala (d.h. man kann nur sehen, welche Seite schwerer ist, aber nicht um wieviel). 11 der 12 Kugeln haben das gleiche Gewicht, eine ist aber leichter oder schwerer.
Nun hat man drei Versuche, in denen man die Kugeln beliebig auf der Waage verteilen kann, um herauszufinden, welche der Kugeln andersgewichtig ist.

Wie ordnet man die Kugeln innerhalb der drei Versuche an??? Am Ende der drei Versuche muss nicht nur feststehen, welche Kugel das andere Gewicht hat, sondern auch, ob sie schwerer oder leichter ist als die anderen.

Viel Spaß beim Rätseln!

 

[Gurke]

Das sind betimmt keine Kugeln. Tippe mal auf Würfel.

Müßte mogeln und die Kugeln schonmal per Hand abschätzen.

//edit: nur ein Versuch.
Erst 3x3 und 3X3 wiegen.
Der Versuch, wo alle gleich wiegen fällt raus. Beim anderen erkenne ich ob schwerer oder leichter.
Dann 1x1 wiegen. Bliebt Waage gleich ist es die ungewogene Kugel, ändert sie sich, ist es die, je nachdem sich die Waage beim 3x3 Versuch bewegt hat, die schwerere bzw die leichtere.
//edit2: Verdammt. Klappt doch nicht. Wenn ich nicht weiß ob die Kugel nun leichter oder schwerere ist, müßt ich einmal raten. Bräuchte noch n vierten Versuch.

 

[SimoRRR]

Ja, das ist ja grad der Witz bei der Sache. 3x3 wiegen und dann die drei in Frage kommenden Kugeln nacheinander paarweise wiegen ist nicht, weil man dann fünf Versuche braucht, um die Kugel herauszufinden die leichter oder schwerer ist und auch noch was von beidem.
Also muss man bei mindestens zwei der drei Wiegvorgänge mindestens zwei Informationen über die Kugel herausfinden! Soviel von mir...

 

[Wolverine]

Ich bekomms nur hin, wenn ich weiß, ob die eine Kugel schwerer oder leichter ist. Wenn man das weiß ist es nicht schwer!

Erstmal die 12 in 3 4er Gruppen einteilen.
Dann zwei der drei Gruppen abwiegen.
(ich geh jetzt mal davon aus, dass die eine Kugel schwerer ist!)
Ist die Waage gleich, weiß man, dass die Kugel in der anderen Gruppe sein muss!
Ist die Waage ungleich weiß man, dass die eine Kugel in der Gruppe, die tiefer hängt sein muss.
Nun nimmt man sich die 4 Kugeln aus dieser Gruppe vor.
Erst die ersten zwei und wenns hier noch gleich ist merkt man bei den zweiten, welche schwerer ist.

Wie das ganze ohne die Vorinformation gehen soll weiß ich leider nicht. Aber ich werde weiter rätseln. 8)

 

[SimoRRR]

@ Wolverine:

Ja, soweit war ich auch schon gekommen. Bei diesem Vorgehen muss man entweder wissen, ob die Kugel schwerer oder leichter ist, oder man kann die Auswahl auf 2 beschränken. Aber man weiß es ja nicht, ob sie leichter oder schwerer ist.... das ist der Knackpunkt.
Ich werde es auch weiter versuchen, denn derjenige, von dem ich das Rätsel hab, meinte, dass es hundertprozentig geht.

Evtl. werde ich im Notfall mal einen befreundeten Mathelehrer kontaktieren!

 

[Gurke]

Fiel mir ein, gab mal ein grob ähnliches Rätsel. Hatte da Säcke voll Goldstücke und eine Personenwagen vom Bahnhof (wo man was blechen muß) In einem der Säcke war eine Münze zu viel drin, und man sollte rausfinden in welchem. Hatte glaube auch nur eine Münze für die Waage.
Im Endeffekt wars eigentlich egal wieviel Beutel man hatte, muß mal das Teil suchen, vielleicht hilfts ja weiter.

 

[Gurke]

Mir ist noch was eingefallen, klappt aber nur zu 50%

Wiege erst wie gehabt 3 Kugeln links, drei rechts.
Beleiben sie gleich, sind es normale Kugeln, wenn es sich ändert ist die andere Kugel bei. Jetzt packt man alle Kugel auf eine Seite und legt die anderen sechs auf die andere Seite.
Da man weiß, es sind alle Kugeln gleich, bzw es ist die veränderte bei, weiß man ob sie leichter oder schwerer ist.
Jetzt kommt das Problem, die verändere Kugel muß schon bei den ersten sechs debei gewesen sein, ansonsten braucht es 4 Versuche. Man nimmt von den Kugeln aus der ersten Wäagung die drei je ob leichter oder schwerer. Weigt nur zwei davon, ändern sie sich, gotcha ansonsten die Kugel die nicht gewogen wurde.

 

[Mother_Shabubu]

So, fertig mit tippen.

Meiner Meinung nach muß die Lösung so ausschauen:

1. Wir testen, ob die Aufgabe überhaupt lösbar ist.

Allgemein lautet die Frage: Ist Kugel x schwerer (oder leichter) als der Rest?
Da es zwölf Kugeln sind, haben wir also 24 Fragen.
Wenn eine Frage mit "Ja" beantwortet wird (z. B. "Ist Kugel Drei leichter als der Rest"), müssen alle anderen Fragen verneint werden, damit wir eine eindeutige Zuordnung haben, also brauchen wir 24 verschiedene Antwortmöglichkeiten von denen jede für genau eine Frage gilt.
Dazu schauen wir wieviel Information uns die Waage geben kann.
Wir dürfen dreimal wiegen und haben drei verschiedene mögliche Ergebnisse: Waage kippt nach rechts, nach links oder bleibt neutral. Das ergibt 3^3=27 verschiedene Antworten, was ausreicht, da wir ja nur 24 Fragen haben.
Da wir eine eindeutige Zuordnung brauchen, müssen aber alle Antworten unterschiedlich sein. Also schreiben wir alle möglichen Reaktionen der Waage auf, z. b. "Waage kippt bei jedem Wiegen nach links" oder "Waage kippt zweimal nach rechts und bleibt beim drittenmal neutral". Dabei erkennen wir zum einen, daß ein Fall offensichtlich unbrauchbar ist und zum anderen, daß sich die Fälle zu Paaren ordnen lassen, wobei einfach "rechts" und "links" vertauscht werden und "neutral" erhalten bleibt, z. B. "links, neutral, rechts" gehört zu "rechts, neutral, links".

2. Wir ordnen jeder Kugel ein Antwortpaar zu.

Das ergibt eine schöne Tabelle, die uns sagt, welche Kugel wir wie oft wiegen müssen und auf welche Seite der Waage sie jeweils kommt.
Beispiel: Frage:"Ist Kugel Acht schwerer als der Rest?"
Fall, der eintreten muß:"links, neutral, rechts". Also muß die Kugel zuerst links gewogen werden, dann gar nicht und zum Schluß rechts und nur wenn dann die erwartete Reaktion eintritt, ist Kugel Acht schwerer. Passiert das genaue Gegenteil, ist Kugel Acht leichter und passiert etwas anderes, war es nicht Kugel Acht.
Insgesamt müssen wir drei Kugeln einmal wiegen, sechs Kugeln zweimal und drei Kugeln dreimal. Das ergibt acht Kugeln pro Wägung: Die drei, die immer gewogen werden, eine, die nur einmal gewogen wird und die vier von den sechsen, bei denen nicht "neutral" in der Tabelle steht. Anschliessend entnehmen wir der Tabelle, welche Kugel auf welche Seite der Waage gehört. Wenn wir Glück haben, landen automatisch jeweils vier Kugeln auf jeder Seite, ansonsten müssen einige Kugeln die Seiten wechseln und sie müssen das dann bei jedem Wiegen tun.
Beispiel: Beim ersten Wiegen würden fünf Kugeln links, aber nur drei rechts landen, also legen wir Kugel Acht nach rechts und dafür beim dritten Wiegen nach rechts. "Schwerer" und "leichter" werden dann aber vertauscht, d. h., beim Fall "links, neutral, rechts" ist Kugel Acht nicht mehr schwerer sondern leichter.

3. Wir wiegen dreimal mit den entsprechenden Kugeln, merken uns, wie die Waage jeweils reagiert hat und schauen, für welche Kugel wir diese Reaktionen erwartet haben.

4. Lösung in Kurzform.

Wir verteilen die Kugeln so auf die Wägungen, daß jede Kugel mindestens einmal gewogen wird und zwei beliebige Kugeln höchstens einmal auf der selben Seite der Waage liegen.

Eine bestimmte Tabelle poste ich nicht, da sich die Reaktionen der Waage jeder leicht selbst hinschreiben kann und es egal ist, welcher Kugel man welches Antwortpaar zuordnet.

 

[Eisfuchs]

das is mir zu hoch (aber mein abi is auch schon ne weile her )

 

[SimoRRR]

Also..... äh.......ich durchschaue so halb, was das für einen Sinn hat, was Du da machen willst, aber so richtig verstanden hab ich das auch nicht.
Mein Abi ist vielleicht noch nicht ganz so lange her, wie das von Eisfuchs, aber ich hab sowas definitiv nicht im Abi gemacht........ glaub ich!

 

[orbital]

passt schon was er geschrieben hat- abi ist zwar her aber im studium hab ich genug mathe

 

[Mother_Shabubu]

Hi

vielleicht ist es so einfacher zu verstehen:

Wir haben zwölf Kugeln und wollen von jeder wissen, ob sie schwerer oder leichter ist als der Rest, wir brauchen also 24 eindeutig verschiedene Reaktionen, zwölf für den Fall "Kugel x ist schwerer" und zwölf für "Kugel x ist leichter". Da die Waage auf 3*3*3=27 eindeutig verschiedene Arten reagieren kann, müssen wir nur noch jedem Fall eine Reaktion zuordnen (es macht nichts, daß drei Reaktionen übrig bleiben).
Wir verteilen dann die Kugeln auf die Wägungen, merken uns, wie die Waage jeweils reagiert hat und sehen dann nach, für welche Kugel wir diese Reaktion erwartet haben und ob die Kugel nun schwerer oder leichter sein muß, um diese Reaktion hervorzurufen.

Eine mögliche Tabelle für den Fall "Kugel x ist schwerer":

1 n n r
2 n r n
3 l n n
4 r r n
5 l l r
6 l n l
7 l r l
8 n r r
9 r l l
10 n l r
11 r n l
12 r l n

"l" heisst "Waage kippt nach links" usw.

Für den Fall "Kugel x ist leichter" werden rechts und links vertauscht.

Das ergibt folgendes Vorgehen beim Wiegen:

1. 3,5,6,7 nach links, 4,9,11,12 nach rechts
2. 5,9,10,12 nach links, 2,4,7,8 nach rechts
3. 6,7,9,11 nach links, 1,5,8,10 nach rechts

Wenn dann also die Waage bei Wägung 1 und 2 nicht reagiert und bei Wägung 3 nach rechts kippt, muß Kugel eins die schwerere sein, denn nur diese wurde nur beim dritten Mal gewogen.

@Eisfuchs und SimoRRR, das ganze ist einfach angewandte Kombinatorik und die ist zumindest in Bayern Abistoff, in anderen Bundesländern kann es natürlich anders sein.
Dieser Fall hier nennt sich dann "Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge", d. h., wäre das ganze ein Lotto mit drei Kugeln, würden wir eine Kugel ziehen, uns merken, was draufsteht und sie wieder zurücklegen, das insgesamt dreimal und uns dann
die Reihenfolge merken, in der wir die Kugeln gezogen haben.

P. S.: Ich studiere kein Mathe, aber ich hatte Mathe-LK in der Schule und für die Tabelle ist eigentlich nicht mehr nötig. Ich habe aber auch zuerst versucht, durch Probieren auf die Lösung zu kommen, aber dann bin ich darauf gekommmen, daß ich eine eindeutige Zuordnung von Kugelgewicht auf Waagenreaktion und umgekehrt brauche. Der Rest war dann nur noch die Tabelle aufzuschreiben und so hinzubiegen, daß jeweils vier Kugeln auf jeder Seite landen.

P. P. S.: Sind jetzt alle Klarheiten restlos beseitigt? Ja? Danke!

 

[Gurke]

Wenn das stimmt, ist es ein blödes Rätsel.
Erinnert mich an wenig an Elektronik und Boolscher Rechnung.
Mußte man auch durch all mögliche Kombinationen die Verschaltung rausfinden.

 

[Eisfuchs]

da bin ich ja mal froh, dass ich mein abi schon in der tasche hab; ich kann nämlich immer noch nicht ganz folgen (das kann aber auch am montag morgen liegen). ich weiss zwar nicht, wie das abi in BW momentan aussieht, aber zu meiner zeit gab's sowas noch nicht

 

[SimoRRR]

Also wir haben das im Mathe LK in Schleswig-Holstein schon durchgenommen im Rahmen der Stochastik, glaube ich, aber ich wäre jetzt von der Aufgabenstellung nicht auf den Lösungsansatz gekommen. Und außerdem ist das Abi auch schon nicht mehr gestern.....

 

[Mother_Shabubu]

Ich weiß leider auch keine einfachere Erklärung, aber vielleicht wird es verständlicher, wenn man sich die 27 möglichen Fälle hinschreibt und jeder Kugel zwei Fälle zuordnet. Anschließend verteilt man die Kugeln so auf die Wägungen, daß jedesmal vier Kugeln links und vier Kugeln rechts landen. Dabei muß natürlich jede Kugel ihre eigene "Wägegeschichte" bekommen, die Verteilung "Beim ersten Wiegen Kugel eins nach links und Kugel zwei nach rechts, beim zweiten Wiegen beide Kugeln vertauschen und beim dritten Wiegen beide weglassen" geht also nicht. Sonst haben wir nämlich ein Problem, wenn die Waage zuerst nach rechts, dann nach links geht und dann gar nichts macht.

Irgendwo im Netz gibt es m. W. auch noch eine sukzessive Lösung, bei der zuerst acht Kugeln gewogen werden und je nachdem, wie die Waage reagiert hat, wird entweder aus denen oder aus den übrigen vier die Kugel ermittelt (einfach bei google "12 Kugeln" eingeben). Der Lösungsbaum, der dabei entsteht, ist allerdings IMO nicht gerade übersichtlich.

[angeb]Mit meiner Methode geht das ganze auch mit 120 Kugeln und fünfmal wiegen, und da dürfte es schwierig sein, ohne Computerhilfe eine sukzessive Lösung samt Lösungsbaum zu finden.[/angeb]

 

[SimoRRR]

Ja, danke Dir Mother_Shabubu! Ich werd mal googlen, wenn ich dafür Zeit hab.
Ich hab meiner Bekannten, wegen der ich das Rätsel hier gepostet habe, Deine Lösung schon gezeigt, aber sie konnte - diplomatisch ausgedrückt - nicht viel damit anfangen! *Gg*
Nochmals danke für die Mühe!

 

[Mother_Shabubu]

@SimoRRR
Gern geschehen!

Zum Thema Verständnisprobleme: Wo klemmt es denn?

 

[SimoRRR]

Naja, an der durch und durch mathematischen Form halt..... wir hatten davor studenlang hin und herüberlegt, "wenn ich links 4 nehme und dann geht die Waage nach recht, dann...... "uswusw...... und dann kommt hier im Forum so eine völlig mathematische Antwort..... damit muss man erstmal fertig werden! *Ggg*

 

[antimagnet]

na, spielen wirs doch mal durch:

die zwölf kugeln sind diese zwölf buchstaben:

a b c d e f g h i j k l

ich denke mir einen aus, der schwerer oder leichter ist als die anderen...

ich schick dir, simorrr, ne pn, dann weißt du`s auch und kannst antworten bzw. gewährleisten, dass ich nicht schummel (was ja sowieso ganz schön bescheuert wäre...)

äh, ach so, das "-" ist die balkenwaage

also:

"acf - bdk"

tippen, und simorr oder ich sagen dann, obs jetzt links runter oder rechts hoch geht.

wenn du zeit und lust hast, mother_shabubu...