Alternative Logik: Metastufenlogik konsequent möglich?

[Trestone]

Hallo,
bei der Suche nach Begründungen der Logik wurde ich nicht so recht fündig.
Zudem gibt es im Umfeld der Logik Brüche und Schwachstellen (z.B. Paradoxien, Cantors Diagonalverfahren, Gödelscher Unvollständigkeitssatz), die mich nach Alternativen zur Logik suchen ließen.

Wie müsste nun eine Logik aussehen, in der z.B. "Diese Satz ist nicht wahr" eine ganz normale Aussage und nicht paradox ist?

Als ein Ausweg erschien mir, bei allen Aussagen eine Stufe (Metastufe) mitanzugeben und die Regel anzunehmen, dass Eigenschaften einer Stufe (wie z.B. in Stufe t wahr zu sein) erst in höheren Stufen erkennbar wären.
(Dies erinnert an die Russellsche Typenhierarchie aus der Mengenlehre, nur bezieht es sich auf die Eigenschaften und nicht auf die Objekte.)

Dieses Metastufenaxiom ist natürlich genauso willkürlich wie die Axiome der gängigen Logik.

Um Paradoxiefreiheit zu erreichen, kann man nun fordern, dass Eigenschaften der Stufe t+1 sich nur aus Eigenschaften von Stufe t oder kleiner ableiten lassen sollen.
(In Stufe 1 kann man als Start alle außerlogisch wahren Sätze zulassen und diese auf alle größeren t ausdehnen.)
Echt stufenlogisch neuer Satz:
Z.B. L wahr in Stufe t+1 :<-> L nicht wahr in Stufe t.
Setzt man noch L wahr in Stufe 1, so hat man in L eine Aussage, die für gerade t nicht wahr und für ungerade t wahr ist.
(L ist "fast" die paradoxe Aussage von oben, sie hat je Stufe t eine der eigenschaften "wahr" bzw. "nicht wahr")

Aus Symmetriegründen fordere ich noch: In Stufe 0 sind alle Aussagen wahr und nicht wahr zugleich.

Behauptung: In allen Stufen größer 0 sind alle Aussagen entweder wahr oder nicht wahr.

Aufbauend auf dieser "Stufenlogik" lässt sich nun leicht auch eine Mengenlehre einführen:

x zur Stufe t+1 in M enthalten: <-> x hat Eigenschaft E zur Stufe t
(in Zeichen: x e(t+1) M)

Z.B. Russellmenge R: x e(t+1) R : <-> x -e(t) x

(Zur Stufe 0 sind alle Mengen leer -> R e(t) R gilt genau für ungerade t).

Zur Konstruktion endlicher Mengen und der natürlichen Zahlen benötige ich noch einen weiteren Typ von Aussagen bzw. Eigenschaften:

Zwei Aussagen sind nach Stufenlogik logisch gleich, "wenn sie für alle Stufen den gleichen Wahrheitswert haben".
Zu welcher Stufe gehört nun diese Metaaussage über alle Stufen?
Nun einfach zur neuen Metastufe 1 (aber hier Zweifel erwünscht...).

Für natürliche Zahlen benötige ich nur den Fall gleicher Mengen zu schon definierten Mengen n:
x e(t+1) n+1 := x e(t) n oder x=n
(wobei x=n hier bedeutet, dass x in allen Stufen gleiche Elemente wie das schon definierte n hat. 0 := leere Menge (in allen Stufen))

Offen ist noch, ob die so angedeutete Mengenlehre zu einer vollen Arithmetik erweiterbar ist, ohne dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz zu unterliegen.
Generell denke ich, dass alle Widerspruchsbeweise in meiner Stufenlogik nicht mehr zwingend sind und meist eine Ebenenverletzung beinhalten.

Die "stufenübergreifende" Gleichheit sehe ich als potentiell systemsprengend und daher am spannensten!

 

[Aphorismus]

Hi Trestone!

Ich fürchte, ich verstehe da einiges nicht.

Um Paradoxiefreiheit zu erreichen, kann man nun fordern, dass Eigenschaften der Stufe t+1 sich nur aus Eigenschaften von Stufe t oder kleiner ableiten lassen sollen.

Auf welcher Stufe steht denn jetzt der ursprüngliche Satz "Dies ist kein Satz."?

Und wie leitet man den aus Eigenschaften von t (was ist t und wie kann es Eigenschaften haben?) etwas ab?

:gruebel:

Kann mir schon vorstellen, dass das Sinn macht, nur kann ich derzeit noch nicht mehr dekodieren, z.B. was diese "Typenhierarchie"(?) mit dem Wahrheitzswert von Aussagen zu tun hat. Aber ich hab ja auch nur Grundwissen in Bezug auf Logik, also eigentlich auch kein Wunder. *schäm*

 

[Trestone]

Hi Aphorismus,

Auf welcher Stufe steht denn jetzt der ursprüngliche Satz "Dies ist kein Satz."?

Und wie leitet man den aus Eigenschaften von t (was ist t und wie kann es Eigenschaften haben?) etwas ab?

1) Der ursprüngliche Satz lässt sich nicht ganz in die Stufenlogik abbilden, denn z.B. "dieser Satz ist in allen Stufen nicht wahr" lässt sich keiner Stufe zuordnen. Grundsätzlich gehört jede Aussage zu ALLEN Stufen und kann je Stufe unterschiedlich wahr oder falsch sein.
Die meisten klassischen Paradoxa sind als stufenlogische Aussagen mit unterschiedlichenWahrheitswerten je Stufe belegt.

2) Die Stufenparameter t sind tatsächlich ein weiterer Schwachpunkt der Theorie. Doch wird nur die Stufeneigenschaft, d.h natürliche Zahlen mit Addition benötigt. Man kann sie sich als axiomatisch eingeführt vorstellen.

Gruß
Trestone

 

[DragoMuseveni]

Hartmann ne?

Ich hab sowas glaub ich schon mal gelesen bei sonen Metaphysiker!

 

[Booth]

Zudem gibt es im Umfeld der Logik Brüche und Schwachstellen (z.B. Paradoxien, Cantors Diagonalverfahren, Gödelscher Unvollständigkeitssatz), die mich nach Alternativen zur Logik suchen ließen.

Vielleicht liegt das Problem nicht in der zwar in sich geschlossenen, aber in der menschlichen Wahrnehmung unvollständigen Logik, sondern in dem Glauben, daß eine "richtige" Logik alle möglichen Aussagen beinhalten müsste?!

Vielleicht ist der Fehler zu glauben, daß es keine Paradoxien geben dürfe?!

Oder wie sagte Spock in einem Star Trek Film? "Logik ist der Anfang aller Weisheit, nicht das Ende"

gruß
Booth

 

[holo]

Oder wie sagte Spock in einem Star Trek Film? "Logik ist der Anfang aller Weisheit, nicht das Ende"

Den muss ich mir merken - rettet sicher aus der einen oder anderen Situation... ;-)

 

[hives]

Hallo Trestone,

Zunächst möchte ich erwähnen, dass es mich freut, mal wieder von dir zu lesen.
Die aktuellen Ausführungen kommen mir (ebenfalls kaum mehr als Grundwissen in formaler Logik) sehr ähnlich vor wie dein Versuch, das Lügnerparadox aufzulösen.
Durch Ausdrücke wie Ebenenverletzung und die Verwendung des Präfixes "Meta-" könnte man allerdings an eine Verbindung von Tarskis "Auflösung" des Lügnerparadoxons mit deinem Streben nach einer Veränderung von Wahrheitswerten (wenn ich das mal so formulieren darf) denken
Für meine Vorstelllungen von Logik liest sich das alles jedenfalls etwas zu willkürlich, es fehlen mir klare Kriterien, klare Aussagen - und nicht zuletzt klare Anwendungen. auch die Probleme, um welche die Ausführungen konstruiert sind, werden bisher m.E. nicht wirklich in dem Sinne aufgelöst, dass man auf dieser Erkenntnis aufbauen könnte, sondern eher simplifizierend beschrieben.

Vielleicht fehlt mir jedoch bisher nur der richtige Blickwinkel für diese Sphären der Logik

Wie auch immer, auf weitere Ausführungen bin ich gespannt!

mfg

 

[Trestone]

Hallo hives,

bin gern zurück (wenn auch mit altem Thema) und gespannt gerade auch auf Deine Kommentare.
Mir ist schon klar, dass die klassische Logik mit Hilfe von Metaebenen u.ä. mit den Paradoxa zurechtkommt, aber das ganze erinnert mich an die Epizyklen im geozentrischen Weltbild.
Meine Grundannahme ist, dass für die Logik noch zu leisten ist, was z. B. durch die nichteuklidische Geometrie für die Geometrie schon erfolgte: Ein (partieller) Paradigmenwechsel.

Dabei glaube ich nicht, das meine "Stufentheorie" schon das letzte Wort ist, aber vielleicht kann sie zum Nachdenken über Alternativen zur klassischen Logik anregen.

Nun aber noch eine konkrete Anwendung:
Ein schönes klassisches Paradoxon ist das folgende (oft Richard zugeschrieben):
Sei m die größte natürliche Zahl, die man mit weniger als 1000 Zeichen (einer gängigen Computertastatur) darstellen kann.

Da zu den ca. 100 Tasten mit 1000 Anschlägen nur endlich viele Zeichenketten gehören, sind so nur endlich viele Zahlen darstellbar.
Als endliche Menge natürlicher Zahlen hat diese Menge ein Maximum m.

Paradox ist nun, das die obige Beschreibung m mit so wenigen Zeichen beschreibt, dass auch m+1 noch mit weniger als 1000 Zeichen beschrieben wird. Da m aber maximal war, darf m+1 nicht beschreibbar sein.

Mit Stufenlogik löst sich das wie folgt auf:
Sei m die größte natürliche Zahl, die man mit weniger als 1000 Zeichen (einer gängigen Computertastatur) in Stufe t (bzw. beliebiger Stufe) darstellen kann.

Das Maximum max(t) der in Stufe t mit weniger als 1000 Zeichen darstellbaren Zahlen gibt es auch hier, aber diese Eigenschaft ist erst in Stufe t+1 bekannt. Die Zahl max(t) + 1 gehört also zu Stufe t+1 und steht nicht in Widerspruch zum Maximum der Stufe t.
(Wie man sich überlegen kann, wächst deshalb das Maximum zunächst mit t. Da aber auch t mitdargestellt werden muss, kann irgendwann nicht mehr zu einer höheren Stufe übergegangen werden und gibt es auch ein maximales t.)

Hier sieht man schön, wie das zentrale Axiom, dass Eigenschaften in einer Stufe t erst ab Stufe t+1 verfügbar sind, den Widerspruch fernhält.

Das Ganze will aber mehr sein, als ein einfaches Werkzeug zur Analyse von Paradoxa: In dem (ähnlich der nichteuklidischen Geometrie) nun auch Aussagen möglich sind, die in manchen Ebenen wahr und in anderen falsch sind, gibt es mehr mögliche Aussagen als mit klassischer Logik.
Daher ist dann auch einiges möglich, was klassisch unmöglich ist.
(z.B. Menge aller Mengen, Potenzmenge gleichmächtig zu Menge und evtl. eine Mengenlehre mit Arithmetik, die dennoch nicht dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz unterliegt).

In der Physik kenne ich mich zwar nicht so gut aus, aber denkbar wäre z.B. das Eigenschaften auf der gleichen Stufe nicht wirksam werden können, d.h. Ursache und Wirkung verschiedenen Stufen angehören.

Analog müsste Wahrnehmendes auf höherer Stufe als Wahrgenommenes stehen (und wir selbst könnten uns allenfalls in der Vorgängerstufe wahrnehmen).

Insgesamt also nicht weit von den alten Griechen entfernt:
Erkenne dich selbst. Ich weiß, dass ich nichts weiß.

 

[DragoMuseveni]

Ich antworte mal Skeptisch:
Warum nehmen wir an das die Logig absolut ist und immer Folgerichtige antworten geben muss?
Die logig ist in menschenKöpfen entstanden also ist ein irrtum allgemein möglich!

Obwohl ich diese form von logig Schon beeindruckend finde!
Aber sie ist der Versuch ein denkmuster zu erhalten!
Solche versuche gab es oft vor Kopernikus um das Ptolemeische
Denkmuster zu halten Und heute wissen wir das es Verschwendung war
soviel darün zu abstrahieren
Denn das denkmuster war ja (oder zumindest bringt man es uns so in der schule bei) FALSCH!!!

 

[Trestone]

Hallo dragoMuseveni,

auch wenn die Logik ein falsches Denkmuster wäre,
wird uns ein besseres wohl kaum in den Schoß fallen.
Daher schlage ich vor, wie bei den physikalischen Erklärungsversuchen weiter Schritt für Schritt (und gelegentlich auch in Sprüngen) nach Verbesserungen zu suchen...

Gruß
Trestone

 

[DragoMuseveni]

Hallo dragoMuseveni,

auch wenn die Logik ein falsches Denkmuster wäre,
wird uns ein besseres wohl kaum in den Schoß fallen.
Daher schlage ich vor, wie bei den physikalischen Erklärungsversuchen weiter Schritt für Schritt (und gelegentlich auch in Sprüngen) nach Verbesserungen zu suchen...

Gruß
Trestone

Das ist wahr du
hast die Demut eines Denkers,
Nicht das Feuer eines Skeptikers!
ist nicht schlimm!

 

[hives]

Hi Trestone,

hier noch ein paar - leicht verspätete - Kommentare meinerseits:

Mir ist schon klar, dass die klassische Logik mit Hilfe von Metaebenen u.ä. mit den Paradoxa zurechtkommt, aber das ganze erinnert mich an die Epizyklen im geozentrischen Weltbild.

Ja, da muss ich schon zugestehen, dass eine Auflösung der Paradoxa durch Stufenlogik möglicherweise eleganter wäre, und eher an vergangene Paradigmenwechsel erinnert, als bspw. Tarskis "Verbot" der Selbstbezüglichkeit.
Doch ist es wirklich möglich, die klassische Logik (evt. parallel zu der von dir angesprochenen euklidischen Geometrie) als Spezialfall einer in sich schlüssigen und vor allem hantierbaren Meta-Stufenlogik zu betrachten? Da habe ich noch meine Zweifel.

Meine Grundannahme ist, dass für die Logik noch zu leisten ist, was z. B. durch die nichteuklidische Geometrie für die Geometrie schon erfolgte: Ein (partieller) Paradigmenwechsel.

Das halte ich nicht für unmöglich, gehe jedoch momentan nicht davon aus. Mir stellt sich auch die Frage, ob ein solcher Paradigmenwechsel für die Logik, deren Kern ja gerade das Deduzieren ist, sinnvoll durchzuführen ist.
Andererseits könnte man auch bspw. die klassische Logik als Spezialfall der "probabilistischen Logiken" werten und darauf bestehen, dass der Paradigmenwechsel schon längst erfolgt ist

In der Geometrie hatte der Paradigmenwechsel eine universellere Anwendbarkeit zur Folge, die Geometrie richtete sich folglich gewissermaßen nach dem räumlichen Bezugssystem, statt selbst ein Raster über das untersuchte Objekt zu stülpen - kann jedoch eindeutig "folgern", wenn das richtige Bezugssystem bzw. der richtige Raum gewählt wurde.

Im Kontext der Logik würde ich bisher davon ausgehen, dass die Stufenlogik zunächst die zu untersuchenden Probleme in durchaus klassischer Weise mit Wahrheitswerten o.ä. pro Ebene versehen müsste, um schließlich eine Art Struktur für den Wertwechsel zu finden und beschreiben zu können. Kalkulieren wäre jedoch wiederum nur in den einzelnen Ebenen möglich. (?)

Das Ganze will aber mehr sein, als ein einfaches Werkzeug zur Analyse von Paradoxa: In dem (ähnlich der nichteuklidischen Geometrie) nun auch Aussagen möglich sind, die in manchen Ebenen wahr und in anderen falsch sind, gibt es mehr mögliche Aussagen als mit klassischer Logik.

Fraglich ist jedoch, ob die Stufenlogik bspw. in der Lage ist, korrekte Folgerungen - auch stufenübergreifend - durchführen zu lassen, oder ob dann jeweils "manuell nachgebessert" werden muss...

(z.B. Menge aller Mengen, Potenzmenge gleichmächtig zu Menge und evtl. eine Mengenlehre mit Arithmetik, die dennoch nicht dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz unterliegt).

In der Physik kenne ich mich zwar nicht so gut aus, aber denkbar wäre z.B. das Eigenschaften auf der gleichen Stufe nicht wirksam werden können, d.h. Ursache und Wirkung verschiedenen Stufen angehören.

Analog müsste Wahrnehmendes auf höherer Stufe als Wahrgenommenes stehen (und wir selbst könnten uns allenfalls in der Vorgängerstufe wahrnehmen).

Bei Gelegenheit könntest du vielleicht einige Punkte genauer ausführen, einen Bezug zur Stufenlogik erkenne ich da momentan nicht in allen Fällen.


mfg

p.s.: sorry, dass meine Antwort so lange auf sich warten ließ, bin momentan (auch die nächsten Wochen) nicht so aktiv hier.

 

[Gossenphilosoph]

Hallo erstmal ,

ich möchte hier mal meine unakademischen Gedanken zu diesem Thema äußern.

Meiner Vorstellung nach ist die Logik etwas von Menschen konstruiertes das wir schaffen um die " Wirklichkeit" begreifen zu können . Jedes Instrument hat Grenzen der Wirksamkeit . Somit ist die Logik allenfalls ein wichtiges Grundelement des menschlichen Denkens , hält aber gleichzeitig unseren Erkenntnishorizont in den Grenzen der Wirksamkeit des Instruments Logik. Anzunehmen , und hier bin ich deckungsgleich mit Booth , die Wirklichkeit , die noch kein Mensch erkannt hat , müsse eine logische Grundlage haben halte ich mit unserem Kenntnisstand für vermessen. Was aber nicht heißen soll das ich die Logik als solchens ablehne , sondern vielmehr darauf hin weisen möchte das wir noch zu wenig wissen um andere Instrumente , die uns weiter bringen zu schaffen.

Desweiteren möchte ich die Frgae aufwerfen , da das bisherige Instrument funktioniert , welchen nutzen oder anders gefragt welche neuen Einsichten und Erkenntnise bringt uns Deine neugestaltete Logik ?


Gruß vom Gossenphilosophen

 

[antimagnet]

logik hat me.e nur sehr wenig mit wirklichkeit zu tun.

aber da würd mich mal die meinung der mitlogiker hier interessieren...

 

[Trestone]

Um den konkreten Nutzen meiner Stufenlogik (und Meta-Mengenlehre) darzustellen, will ich sie noch einmal genauer darstellen
(z.T. Auszug aus früherer Zusammenstellung von mir, daher mit Wiederholungen):

0) Die Russellmenge R als Motivation:

R = {x : x -e x} bzw. x e R <-> x -e x.
Für x=R erhält man den Widerspruch R e R <-> R -e R.
(Dabei steht "e" für "Element von" und "-e" für "nicht Element von")

In den gängigen Mengenlehren wird R daher nicht als Menge zugelassen.
Denn bei Widerspruch zwischen Mengenlehre und Logik gibt man der Logik den Vorrang.

Umgekehrt kann man sich aber auch fragen, wie man eine Mengenlehre (und Logik) gestalten muss, in der R eine zulässige Menge ist?

Eine Möglichkeit soll im Folgenden beschrieben werden,
wobei sich zeigen wird, dass in dieser Mengenlehre auch grundlegende Sätze von Cantor und (vielleicht) Gödel nicht mehr gelten.

Meine Grundidee ist, dass sich im Widerspruch "R e R <-> R -e R" die beiden vorkommenden Elementzeichen links und rechts auf verschiedenes beziehen.
Genauer stelle ich mir vor, dass Mengen unterschiedliche Eigenschaften (Elemente) in verschiedenen Stufen besitzen und man zum Elementzeichen jeweils die Stufe angeben muss, auf das es sich bezieht.

Für die so abgeleitete Russellmenge R gilt dann: x e(t+1) R <-> x -e(t) x.
In Worten: x liegt zu Stufe t+1 in R genau wenn x sich zur Stufe t nicht selbst enthält.
(Genaugenommen ist dies eine andere Menge R als die obige, aber wir bewegen uns ja jetzt auch in einer anderen Mengenlehre, der Stufenmengenlehre bzw. Metamengenlehre.)

Für R gilt dann: R e(t+1) R <-> R e(t) R .
Nach Stufen abwechselnd liegt also R in sich oder nicht.

Setzt man noch, dass in Stufe 0 alle Mengen leer sind, so sieht man,
dass R für ungerade t in R liegt, für gerade aber nicht.

Der Widerspruch wurde sozusagen durch die zusätzliche Dimension der Stufen aufgefangen.
Mengen selbst sind hier dimensionslose Gebilde, die je nach Stufe unterschiedliche Elemente und Eigenschaften besitzen können.

1) Aufbau der Metamengenlehre:

Gesteht man Mengen unterschiedliche Eigenschaften (Elemente) in unendlich vielen Stufen zu, so würde dies für uns (zumindest teilweise) endliche Wesen schnell zum Problem, da wir für Mengen meist nicht alle Eigenschaften aller Stufen bestimmen könnten.
Daher wird wie bei der Russellmenge R gefordert, dass zwischen Stufe t+1 und Stufe t ein für alle t gleicher Bezug besteht, eine Art Induktionsübergang.

Diese Beziehung zwischen Eigenschaften verschiedener Stufen ist ein Kernstück dieser Theorie und ermöglicht es, die Metaebenen "einzufangen".

So kann man z.B. All, die Menge aller Mengen, konstruieren und zeigen, dass sie via Identität in Bijektion zu ihrer Potenzmenge steht (s.u. bei "Bsp. zu Mengenlehre").
Die beim Cantorschen Gegenbeweis konstruierte Menge ergibt sich dabei als unsere (widerspruchslose) Russellmenge R.

Die Konstruktion der natürlichen Zahlen ist etwas mühsamer, da der induktive Ansatz keine endlichen Mengen liefert.
Hier habe ich aufgenommen, dass Mengen auch durch explizite Angabe ihrer Elemente in Stufe 1 definiert werden können (wenn sie in allen Stufen gleiche Elemente haben) und diese (endlich vielen?) Elemente schon definiert sind.
Die Untersuchungen zur Arithmetik sind noch nicht abgeschlossen, aber ich hoffe, dass auch der Gödelsche Unvollständigkeitssatz in der Metamengenlehre nicht mehr gültig ist.

2) Ausblick auf Logik:
Analog lässt sich der Wahrheitswert in der Aussagenlogik als (z.T.) stufenabhängig definieren.
Dann zeigt sich die Lügnerantinomie ("Dieser Satz ist nicht wahr") analog zur Russellmenge als abwechselnd falsch und wahr, je nach Stufe.
Interessant: Als Startpunkt wählt man hier, dass in Stufe 0 alle Aussagen
falsch und wahr zugleich sind (aber nur dort).

In der Logik scheint man dabei zwischen zwei Arten von Aussagen unterscheiden zu müssen:
Gewöhnlichen Aussagen, die je nach Stufe wahr oder falsch sind und
Metaaussagen (z.B. Aussagen über alle Stufen) wie die meisten Logikaxiome, die scheinbar absolut wahr oder falsch sind.
Z.B. ist die Gleichheit von Stufenaussagen (oder Mengen) eine Metaaussage.
Bei genauerer Betrachtung zeigt sich aber, dass man auch die Metaaussagen als Stufenaussagen betrachten kann.

3) Für Interessierte noch einige Axiome und Formeln (noch unvollständig):

3.1) Vorbemerkung zur Notation:

V steht für "für alle"
E steht für "es existiert mindestens ein"
<-> steht für "genau dann wenn"
e(t) steht für "ist zur Stufe t Element von"
-e(t) steht für "ist zur Stufe t nicht Element von"
=(t) steht für "ist zur Stufe t gleich"
= steht für "ist gleich" (für alle Stufen)

I) Mengenlehre Grundidee:

Mengen sind dimensionslose Dinge "an sich", ihre Eigenschaften (wie Gleichheit und Elementbeziehungen) erschließen sich uns nur stufenweise und können je Stufe unterschiedlich sein. Es bestehen aber Verbindungen zwischen den Stufen.
Nicht alle Eigenschaften einer Stufe können in dieser Stufe beschrieben werden, meist ist dazu die nächste Stufe (Metastufe, aber anders gemeint als unten bei Logik) nötig.
Gerade die charakteristischen Eigenschaften einer Stufe t (x e(t) M) ist in Stufe t nicht entscheidbar sondern erst in Stufe t+1.

0. Stufenmengen-Meta-Axiom:

Es gibt (in der Metaebene) eine Stufenmenge T,
die induktiv ist, d.h. sie enthält 0 und zu jedem Element t auch den Nachfolger t+1. (T entspricht No mit Addition).
(Evtl. könnte man T selbst auch via e(t) stufenweise einführen, aber das
sei zunächst nicht betrachtet...)

Im folgenden sei stets t aus T, x,y,z,a,b Mengen
A(t,y),F(t,y) Funktionen bzw. Terme mit festem t.

1. Extensionalitäts-Axiom:
Vt: "x: [(x e(t) y) <-> (x e(t) z)] <-> (y =(t) z)
D.h zwei Mengen sind zur Stufe t gleich, wenn sie zur Stufe t gleiche Elemente haben.
Zwei Mengen x,y sind gleich (x=y), wenn sie zu allen Stufen gleich sind.
(Meist Nachweis über Induktion nach t).
(Diese Axiom ist eine Metaaussage, z.B für Stufe d=1 wahr).

2. Nullstufen-Axiom:

Vx: Vy: x -e(0) y
D.h. zur Stufe Null sind alle Mengen leer.
(Diese Axiom ist eine Metaaussage).

3. Existenz-Axiom:

Vt: Ey: Vx: ( x e(t+1) y <-> A(t,x) )
Andere Darstellung: Vt: y =(t+1) {x: A(t,x)}

D.h. ist A(t,x) ein (mengenlogischer) Term der Stufe t
(z.B. (x e(t) x) v (x =(t) x)) so gibt es eine Menge y, die für alle Stufen diesen Term (in t+1) erfüllt.
(Diese Axiom ist eine Metaaussage).


„(Mengenlogischer) Term der Stufe t“ sollte genauer erklärt werden:

3.1 „0“ ist ein Term beliebiger Stufe (Konstante, Leere Menge)
3.2 „x“ ist ein Term beliebiger Stufe (Identität)
3.3 Sind „a“ und „b“ Terme der Stufe t, dann auch „-a“, „avb“, „a^b“,
„a->b“, „a<->b“, „Ex: a(x)“, „Vx: a(x)“
3.4 Sind v,w Mengen ist „v e(t) w“ und „v =(t) w“ ein Term der Stufe t
3.5 ACHTUNG: Sind a,b Terme der Stufe t, dann auch „Vd<t+1: a(d)(x)“ und „Ed<t+1: a(d)(x)“ aber meist NICHT „Vt: a(t)(x)“ oder „Et: a(t)(x)“
(Letztere sind „Metakonkretisierungen“ s.u., ähneln Ordinalzahlstufen-Konkretisierungen.)


Die mittels 3.1 – 3.5 bildbaren Terme von x sind die „mengenbildenden Terme“.

Lemma 1: Es gibt die leere Menge „0“ und die volle Menge „ALL“.
Wähle in Axiom 3 A(t,x) gleich „x -=(t) x“ bzw. gleich „x =(t) x“ #

Lemma 2: Zur Stufe 0 sind alle Mengen gleich.
Insbesondere gilt: „ALL =(0) 0“
Betrachte Axiom 1 und Axiom 2, sowie Lemma 1. #

Lemma 3: Es gibt die RUSSELL-Menge R mit Vt:[x e(t+1) R] « [ x -e(t) x ]
Axiom 3 mit A(t,x) gleich x -e(t) x. x -e(0) x stets wahr, also R -e(0) R, also R e(1) R. Allgemein „R e(2t) R“ ist falsch, „R e(2t+1) R“ ist wahr.

Bsp zur Mengenlehre: Mächtigkeit der Potenzmenge anders als bei Cantor:
(Evtl. noch mit dem einen oder anderen "Stufenfehler" bzgl. t, t+1 in den Beweisen...)

Als Potenzmenge P(M) bezeichnet man bei Cantor die Menge aller Teilmengen von M, d.h. die Mengen in P(M) haben als Elemente nur M-Elemente.

Analog ist bei mir eine Menge x in Stufe t+1 genau dann Element der Potenzmenge P(M), wenn x in Stufe t Teilmenge von M ist, d.h. alle Elemente der Stufe t von x müssen auch Elemente der Stufe t von M sein.

In Zeichen: x e(t+1) P(M) :<-> Vy: y e(t) x -> y e(t) M

Man sieht: Es gilt stets 0 e(t+1) P(M) und M e(t+1) P(M).
Nun betrachten wir den berühmten Cantorschen Beweis, dass zu einer Menge und ihrer Potenzmenge keine Bijektion existieren kann.

Cantor nimmt dazu an, es gebe eine solche Bijektion f: M -> P(M) und betrachtet die damit konstruierte Menge A(f):= {x e M: x -e f(x)}.

A(f) ist eine Teilmenge von M, nach Annahme gibt es also dazu ein Urbild in M, das von f auf A(f) abgebildet wird. Sei dieses Urbild m.
Es gilt also f(m) = A(f).
Wir untersuchen nun, ob m in f(m) liegt:
1. Fall: m e f(m) -> (wg. f(m)=A(f)): m e A(f) -> m -e f(m). Widerspruch!
2. Fall: m -e f(m) -> (wg. Def. von A(f)): m e A(f) -> m e f(m) Widerspruch!

In der Stufenmengenlehre macht die Menge A(f) weniger Probleme:
Nehmen wir an, es gäbe eine Bijektion f: M in Stufe t+1 -> P(M) in Stufe t+1
(Dabei beschränken wir uns auf eine bel. Stufe t)
Setze x e(t+1) A(f) :<-> x -e(t) f(x) und x e(t) M
A(f) ist wieder eine Menge, deren t+1-Elemente nur t-Elemente von M sind.
(Beachte: Nach Stufengrundaxiom sind t-Elemente erst in Stufe t+1 bekannt, A(f) ist also nicht mit obiger Definition in Stufe t definierbar.)

Angenommen, A(f) hat ein Urbild m mit f(m) = Stufe t+1: A(f).
1.Fall m e(t+1) f(m) -> m e(t+1) A(f) -> m -e(t) f(m) (kein Widerspruch)
2.Fall: m -e(t+1) f(m) -> m -e(t+1) A(f) -> m e(t) f(m) (kein Widerspruch).
Zumindest mit diesem A(f) greift also Cantors Beweis nicht mehr.

Nun noch ein positives Beispiel:
Setze M=All und f = Identität.
Zu Stufe t+1 ist x e(t+1) P(ALL) :<-> Vy: y e(t) x -> y e(t) ALL
Behauptung: x e(t+1) All <-> Vy: y e(t) x -> y e(t) ALL,
d.h. P(ALL) = ALL. f: x->(t+1) x
x e(t+1) A(f) <-> x -e(t) f(x) <-> x -e(t) x
A(f) ist also die oben schon bei Stufentheorie als unproblematisch erkannte Russellmenge.
(Übrigens ist die ALL-Menge in allen stufen größer 0 gleich.)

Natürliche Zahlen:

Nachfolgemenge: x e(t+1) m´ :<->( x e(t) m ) v ( x = m )
(Interessant: x=m ist eine Metaeigenschaft, z.B. für Stufe d=1 wahr)

Offene Fragen:
1. Lässt sich innerhalb der Stufenmengenlehre eine Arithmetik definieren?
2. Wie steht es ggf. bei dieser Arithmetik um den Gödelschen Unvollständigkeitssatz?

II) LOGIK: Grundidee:

Aussagen A sind eigenschaftslose „Dinge an sich“, erst Konkretisierungen in einer Stufe t haben Eigenschaften wie z.B. „wahr“, „falsch“, „logisch gleich“. (Konkretisierungen sind selbst keine Aussagen!)

Sei „A“ eine Aussage und „A:t“ die Einschränkung bzw. Konkretisierung von A zur Stufe t.
Z.B. sei A gleich „x e x“ . Dann ist (A:t) gleich (x e(t) x) und somit wahr oder falsch zur Stufe t.

Wahrheitswertmenge von A ist W(A) und es gilt: W(A) =(t+1) {z: (A:t)} (Beachte: z kommt in A:t nicht vor, daher W(A) voll oder leer)

Es gilt: A wahr zu t+1 <-> W(A) =(t+1) All (All= Allmenge = {z: x =(t) x})
A falsch zu t+1 <-> W(A) =(t+1) 0 (0 = Leere Menge = {z: x ¹(t) x})

Regeln: W(-A) = All – W(A) = - W(A); W(--A) = - W(-A) = -- W(A) = W(A).

Dazu gibt es noch Metaaussagen, die auch je Stufe wahr oder falsch sein können, aber oft jeweils für alle Stufen gleich. Metaaussagen sind z. B. Aussagen über alle Stufen oder Aussagen über Metaaussagen oder Wahrheitswerte.
Z.B.: "A wahr in Stufe 1" ist Stufenaussage , ""A wahr in Stufe 1" ist wahr" ist Metaaussage.

Satz 1: Zur Stufe 0 sind alle Konkretisierungen (der Stufe 0) wahr und falsch zugleich.

Definition: Wohldefinierte Aussagen sind solche, bei denen zur Bestimmung des Wahrheitswert einer Konkretisierung in Stufe t+1 nur Konkretisierungen kleinerer Stufen ausgewertet werden müssen.

Satz 2: Zur Stufe t>0 sind alle Konkretisierungen von (wohldefinierten) Aussagen der Stufe t entweder wahr oder falsch.
Es gilt entweder „W(A) =(t+1) ALL“ oder „W(A) =(t+1) 0“.

Elementarbeziehungen wie „x =(t)x“ sind nicht nur t-wahr sondern wahr.

Lemma: Zur Stufe 0 sind alle Aussagen gleich

Idee: Satz 1 (mit Lemmas) könnte der Schlüssel für Ausweg aus Begründungstrilemma sein, denn jetzt bricht jede Begründung bei Stufe 0 ab ohne die Wahrheit bestimmter Sätze zu fordern (sie sind ja alle wahr bzw. zugleich falsch).
Induktion mit strukturell garantierter Verankerung...

Sei L die Aussage „dieser Satz ist falsch“.
Dann ist L:t die Aussage „dieser Satz ist zu Stufe t falsch“.
Beh.: Für gerade t ist L falsch, für ungerade wahr.
Zu t=0 ist L:0 wahr und falsch. W(L) =(t+1) {z: (L:t)}
W(L) =(0+1) {z : (L:0)} =(1) {z : `L ist zur Stufe 0 falsch’} =(1) ALL
W(L) =(1+1) {z : (L:1)} =(2) {z : `L ist zur Stufe 1 falsch’} =(2) 0
usw.

Die Grund-Antinomie läßt sich also auflösen.

(Die scheinbare Metaaussage M:= "dieser Satz M ist für alle Stufen (und Metastufen) falsch" ist nicht auflösbar: Ann.: W(M,t)=-w -> W(M,d)=w -> W(M,d)=-w (d>0)
Ann: W(M,t)= w -> W(M,t)= -w. (t>0)
Ursache: M sagt etwas über die eigene Stufe aus, was in dieser nicht bekannt ist.

Gleichheitsaxiom: Zwei Aussagen A1 und A2 sind (logisch) gleich (A1=A2), wenn sie für alle Stufen t gleiche Wahrheitswerte annehmen.
(Logische Gleichheit ist eine Metaaussage, es gilt
W(A1=A2),t+1)=w :<-> W("d: W(A1,d)=W(A2,d),t)=w (t>0)


In der Physik kann ich mir vorstellen, dass man je Messung die Metastufe wechselt.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo hives,

Doch ist es wirklich möglich, die klassische Logik (evt. parallel zu der von dir angesprochenen euklidischen Geometrie) als Spezialfall einer in sich schlüssigen und vor allem hantierbaren Meta-Stufenlogik zu betrachten? Da habe ich noch meine Zweifel.

Man muss sich klassische Aussagen nur als solche Aussagen vorstellen, die ab Stufe 1 in jeder Stufe den gleichen Wahrheitswert haben.
Dann stimmen Metastufenlogik und klassische Logik überein.
Grob betrachtet spielt sich die klassische Logik auf Stufe 1 ab.

Hübsch sind klassische Paradoxa, die zeigen, dass manche klassischen Eigenschaften nicht durchgängig zuweisbar sind:

1) Kann es einen Stein geben, der unhebbar schwer ist?
2) Kann es einen Gott geben, der allmächtig ist?
3) Kann ein allmächtiger Gott einen selbst für ihn unhebbaren Stein schaffen?

Aussage 3 gilt klassisch als paradox und selbstwidersprüchlich, ist in Stufe 1 nicht lösbar.

Mit Metastufenlogik:
Jetzt lassen wir Gott in Stufe t einen in Stufe t unhebbaren Stein schaffen.
(Gott ist in Stufe t also nicht allmächtig).
In Stufe t+1 ist Gott allmächtig und hebt den Stein locker auf.

Der Widerspruch zwischen unhebbar und allmächtig lässt sich also durch verschiedene Stufen umgehen.

Gruß
Trestone

Wenn Du erst später antworten kannst Hives, warte ich gern darauf,
auch ich lege ja gelegentlich Forumspausen ein ...

 

[DragoMuseveni]

Hallo erstmal ,

ich möchte hier mal meine unakademischen Gedanken zu diesem Thema äußern.

Meiner Vorstellung nach ist die Logik etwas von Menschen konstruiertes das wir schaffen um die " Wirklichkeit" begreifen zu können . Jedes Instrument hat Grenzen der Wirksamkeit . Somit ist die Logik allenfalls ein wichtiges Grundelement des menschlichen Denkens , hält aber gleichzeitig unseren Erkenntnishorizont in den Grenzen der Wirksamkeit des Instruments Logik. Anzunehmen , und hier bin ich deckungsgleich mit Booth , die Wirklichkeit , die noch kein Mensch erkannt hat , müsse eine logische Grundlage haben halte ich mit unserem Kenntnisstand für vermessen. Was aber nicht heißen soll das ich die Logik als solchens ablehne , sondern vielmehr darauf hin weisen möchte das wir noch zu wenig wissen um andere Instrumente , die uns weiter bringen zu schaffen.

Desweiteren möchte ich die Frgae aufwerfen , da das bisherige Instrument funktioniert , welchen nutzen oder anders gefragt welche neuen Einsichten und Erkenntnise bringt uns Deine neugestaltete Logik ?


Gruß vom Gossenphilosophen

Stimmt und die oben Dargestellte stufenlogik mit gott und den stein
finde ich ...Fragwürdeig!

 

[Trestone]

Noch einmal zur Motivation, warum ich mich mit Stufenlogik und Metamengenlehre befasse:

Die "klassische Logik" und die naive Cantorsche Mengenlehre sind auch für mich schöner, haben aber den Nachteil, dass Widersprüche möglich sind.
Während man sie bei der Logik meist in den Griff bekommt, gilt für die Mengenlehre der Gödelsche Unvollständigkeitssatz. Nach diesem gibt es in jeder axiomatischen Theorie , die die natürlichen Zahlen inkl. Arithmetik (v.a. Multiplikation) beinhaltet, nach den Axiomen wahre Sätze, die nicht beweisbar sind - oder die Theorie enthält Widersprüche.

Beim Beweis des Unvollständigkeitssatzes wird ein Widerspruch konstruiert, der nach Stufenlogik nicht mehr gültig ist. Daher hoffe ich, dass die Metamengenlehre (und Stufenlogik) nicht dem Unvollständigkeitssatz unterliegt.

Allerdings hat glaube ich die konstruktive Mathematik schon einmal ähnliches geleistet, aber den meisten Mathematikern sind/waren die konstruktiven Möglichkeiten zu beschränkt/unbequem.

Ähnlich könnte es auch mit meiner Metamengenlehreund Stufenlogik sein,
obwohl ich hoffe, dass sie näher am "naiven" Cantor ist.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Mit Metastufenlogik:
Jetzt lassen wir Gott in Stufe t einen in Stufe t unhebbaren Stein schaffen.
(Gott ist in Stufe t also nicht allmächtig).
In Stufe t+1 ist Gott allmächtig und hebt den Stein locker auf.

Es gibt in der Stufenlogik noch eine einfacherere Lösung:
In Stufe 0 sind ja alle Aussagen wahr (und falsch zugleich), d.h. hier ist Gott allmächtig und kann zugleich einen unhebbaren Stein schaffen.
Die Stufe 0 ist insgesamt so etwas wie ein All-Urzustand und Ausgangspunkt aller Dinge, Aristoteles hätte sie wohl "Gott" genannt ...

Gruß
Trestone

 

[DragoMuseveni]

Mit Metastufenlogik:
Jetzt lassen wir Gott in Stufe t einen in Stufe t unhebbaren Stein schaffen.
(Gott ist in Stufe t also nicht allmächtig).
In Stufe t+1 ist Gott allmächtig und hebt den Stein locker auf.

Es gibt in der Stufenlogik noch eine einfacherere Lösung:
In Stufe 0 sind ja alle Aussagen wahr (und falsch zugleich), d.h. hier ist Gott allmächtig und kann zugleich einen unhebbaren Stein schaffen.
Die Stufe 0 ist insgesamt so etwas wie ein All-Urzustand und Ausgangspunkt aller Dinge, Aristoteles hätte sie wohl "Gott" genannt ...

Gruß
Trestone

interesant, aber liefert diese Logik denn auch [verlässliche] Aussagen?

Ist sie denn nicht nur eine erweiterung der Klassischen Logik?