Google kauft Quantencomputer/Skynet im Anmarsch

[Giacomo_S]

Ich kenne die Mathematik ja nur als Werkzeug und nicht als Selbstzweck.

Mathematiker, die A..löcher, werfen Dir eine Formel hin, mit der Vorbemerkung:
Es ist leicht einzusehen, dass ... xyz blie bla blue.

Nur tue ich mich leider sehr schwer damit, einzusehen, dass ... und nach rund drei Stunden der intensiven Meditation finde ich dann am Rande ein Zipfelchen, an dem ich mich vllt. in einer Art Münchhausen-Simulation an den eigenen Haaren aus dem Sumpf ziehen kann.

Dennoch ist Cantors Zahlentheorie, populär aufbereitet, eigentlich ganz einfach.
Da gibt es die Menge der Reellen Zahlen (= Zahlen, die sich durch Brüche darstellen lassen), die unendlich groß ist. Cantor stellt in Folge sein Diagonalschema auf, in dem sich alle Reellen Zahlen abzählen lassen ... unendliche Zeit vorausgesetzt, natürlich. Er benennt die unendliche Menge der Reellen Zahlen "Aleph" (eine Anleihe aus dem hebräischen Alphabet, da Cantors Meinung nach alle anderen Buchstaben mittlerweile belegt sind).
Er zeigt: Die Reellen Zahlen sind abzählbar, unendliche Zeit vorausgesetzt.

Wobei es damals wie heute nicht nur unter Mathematikern umstritten ist, ob eine Beweismethode, die eine Unendlichkeit voraussetzt, überhaupt gültig ist.


Weiterhin kann Cantor zeigen,

- dass die irrationalen Zahlen nicht abzählbar sind.
- dass für die Menge der irrationalen Zahlen (Bet) gilt: Bet=2^Aleph.

Also: Die Menge der Reellen Zahlen ist zwar unendlich groß, es gibt aber Unterschiede selbst in den Unendlichkeiten. Er selbst nannte dies Mannigfaltigkeiten, heutzutage spricht man von Mächtigkeiten.

Daraus folgt die Frage, ob die Abfolge

Aleph, Bet, ....

in der aufgrund der Mengentheorie jedes Folgeglied 2^x des vorherigen ist, endlos so weiter geht oder endlich ist. Genau dies ist Cantors Kontinuumshypothese, die er selbst nie beweisen oder widerlegen konnte, sondern stattdessen immer wieder in der Nervenheilanstalt war.

Später konnte der Logiker Kurt Gödel (selbst ein Irrer) beweisen, dass Cantors Kontinuumshypothese nicht der geltenden Mathematik widerspricht. In den 60er Jahren konnte ein amerikanischer Mathematiker beweisen, dass deren Negation dies auch nicht tut. Cantors Hypothese ist also mit unserer Mathematik unbeweisbar, was tief blicken lässt.
Denn es bedeutet, dass im Prinzip eine seit der Antike verwendete Beweismethode der Mathematik - der Beweis durch das ausgeschlossene Dritte - ungültig ist.

Viele Grundlagen der Mathematik, darunter die Diagonale im Quadrat, sind bis heute aber nicht anders bewiesen.

 

[Lupo]

Das schaffen auch angewandte Wissenschaftler. Schreiben Dir eine Seite mit Gleichungen und Linien8ntergralen voll, und „Wie man nun leicht sieht, …“. Frage an Dich: Wenn mich nicht alles täuscht, bilden die Brüche doch die Rationalen Zahlen, und zu den Reellen Zahlen gehören dann so Sachen wie pi oder die Wurzel aus 2?

Aber egal. Eine Frage: Wie ist denn die „Abzählbarkeit“ definiert?

Als Maschinenbauer sehe ich natürlich ein, dass das, was für mich eine funktionierende Maschine ist, für einen Mathematiker ein gelungener Beweis ist. Aber so mancher Beweis, den ich so beim Mathestudium mitbekommen habe, ging schon sehr ins Selbstreferentielle und roch für mich doch schon sehr nach Zirkelschluss.

Für Mutterns Jüngsten ist das alles nichts … wenigstens ein bisschen Praxisbezug muss da sein. Ich kann mir ohne weiteres vorstellen, dass man auf Dauer einen Vogel bekommt, wenn man sich zu viel und ernsthaft mit den Mächtigkeiten verschiedener Unendlichkeiten beschäftigt.

 

[Giacomo_S]

Das schaffen auch angewandte Wissenschaftler. Schreiben Dir eine Seite mit Gleichungen und Linien8ntergralen voll, und „Wie man nun leicht sieht, …“. Frage an Dich: Wenn mich nicht alles täuscht, bilden die Brüche doch die Rationalen Zahlen, und zu den Reellen Zahlen gehören dann so Sachen wie pi oder die Wurzel aus 2?

Okay, gemeint waren die Rationalen Zahlen. Die Reellen Zahlen sind die Rationalen Zahlen + Irrationalen Zahlen. Mein Fehler.

Aber egal. Eine Frage: Wie ist denn die „Abzählbarkeit“ definiert?

Muss das jetzt so ungefähr aus dem Kopf wiedergeben ... erfordert ggf. etwas guten Willen und Fantasie.

Cantor bildet so ein Schema:

______1___2____3____4____5____6___ ...
1____1/1__2/1__3/1___4/1__5/1___6/1__...
2____1/2__2/2__3/2___4/2__5/2___6/2__...
3____1/3__2/3__3/3___4/3__5/3___6/3__...
4____1/4__2/4__3/4___4/4__5/4___6/4__...
5____1/5__2/5__3/5___4/5__5/5___6/5__...
6____1/6__2/6__3/6___4/6__5/6___6/6__...
.
.
.

In diesem Schema gibt es eine Art "Diagonalweg" (den ich aus meiner Erinnerung und mangels der grafischen Möglichkeiten hier nicht wiedergeben kann), mittels diesem man jede Position auf dem Schema genau einmal abklappert. Somit sind die Rationalen Zahlen abzählbar, unendliche Zeit vorausgesetzt.
Ist man nur unendlich dabei in diesem Bemühen, wird man jede Rationale Zahl benennen können.
Cantors Zeitgenossen stellten die Richtigkeit des Schemas auch grundsätzlich nicht in Frage. Umstritten war vielmehr die Frage, ob ein Beweis Gültigkeit besitzt, der die Unendlichkeit der Tätigkeit voraussetzt.
Cantor liefert schließlich auch den Beweis dafür, dass die Irrationalen Zahlen nicht abzählbar sind (der ist mir allerdings nicht geläufig).

Georg Cantors akademischer Gegenspieler, der deutsche Mathematiker Leopold Kronecker betonte allerdings: „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.“ und [Die Zahlentheoretiker sind wie die Lotophagen, ] „die, wenn sie einmal von dieser Kost etwas zu sich genommen haben, nie mehr davon lassen können“.

Die religiös-philosophische Schule der Pythagoreer (grch., 6. Jh. v. Chr., Süditalien) vertraten zunächst die Meinung, alle Zahlen seien rational.
Bei der Länge der Diagonale im Quadrat geht dies allerdings nicht auf. Sie beträgt Wurzel 2 (für ein Quadrat der Seitenlänge 1) - und Wurzel 2 lässt sich nicht als Bruch darstellen.
Diese Tatsache lässt sich allerdings nur indirekt beweisen, durch den Beweis durch das ausgeschlossene Dritte: Der (mathematischen) Logik folgend, gibt es zwei Ergebnisse einer Aussage, wahr und falsch. Der Beweis für die Irrationalität der Diagonale wird dahingehend geführt, dass man zunächsz annimmt, es gäbe einen Bruch, der die Länge der Diagonale darstellt. Diese Annahme führt allerdings zu unauflösbaren Widersprüchen, also muss das Gegenteil der Fall sein, die Aussage ist falsch.
(Eine späte Überlieferung behauptet, der Pythagoreer Hippasos habe diese Entdeckungen veröffentlicht und damit aus der Sicht der Pythagoreer Geheimnisverrat begangen. Daraufhin sei er aus der Gemeinschaft ausgeschlossen worden und bei einem Schiffbruch umgekommen, was als göttliche Strafe zu deuten sei.)
Bis zum heutigen Tage gibt es keinen direkten Beweis für die Irrationalität der Diagonale des Quadrats.

Für Cantors Kontinuumshypothese kann aber kein Beweis geführt werden, die Hypothese gilt als unentscheidbar, resp. mit den Mitteln der Mathematik ist sie nicht zu beweisen oder zu widerlegen.
Wenn es aber sein kann, dass eine mathematische Aussage weder zu beweisen noch zu widerlegen ist, dann ist der Beweis durch das ausgeschlossene Dritte im Grunde ungültig. Denn offenbar kann es mehr Zustände der Aussagenlogik geben als wahr und falsch.

Im Zuge dessen entstand ein (kleiner) Zweig der Mathematik, die Konstruktive Mathematik, die die bislang fehlenden direkten Beweise zu finden versucht. Für einige, bislang nur indirekte Beweise ist ihnen dieses gelungen, für die Diagonale im Quadrat aber (noch) nicht.

Wie sich auch aus Kroneckers Kritik unschwer erkennen lässt, hielt man die Zahlentheorie längere Zeit für eine intellektuelle Spielerei, Mindfuck eben.
Seit einigen Jahren hat diesbezüglich ein Umdenken stattgefunden. Denn möglicherweise ist die Zahlentheorie ein Schlüssel, wenn nicht der Schlüssel zur Kryptographie.
Mit dem Sieb des Eratosthenes lassen sich - im Prinzip - beliebig viele Primzahlen erzeugen (da das Verfahren, wie andere, aber nicht sonderlich effizient ist, gibt es eine jeweilig "größte" Primzahl, auch wenn es unendlich viele gibt). Bis heute nicht bekannt ist, ob es einen Algorithmus gibt (oder geben kann), der ihre Verteilung wiedergibt. Eine auf der Zahlentheorie basierende Primzahlentheorie könnte dies ändern - und eine Primzahlentheorie möglicherweise Verfahren aufzeigen, die die Faktorisierung von Primzahlenprodukten wesentlich vereinfachen.
Damit wäre eine Verschlüsselung durch ein Produkt zweier großer Primzahlen dann im Prinzip geknackt.

 

[DerMichael]

3 LOLs zu Quantencomputern

Quantencomputer machen Bitcoin-Schürfen 1000-mal effizienter

LOL. Bloß, dass Quantencomputer gar keine Bitcoin berechnen/schürfen können. Es wäre durchaus eine beachtliche Leistung, wenn Quantencomputer eine Blockchain berechnen könnten aber das können dann vermutlich auch normale Computer.

Wegbereiter fürs Quanteninternet: Erstes Betriebssystem für Quanten-Netzwerke

LOL. Ein "Betriebssystem", das nichts kann, für Quantencomputer, die nichts können? Wobei, es wäre eine starke Leistung, wenn dieses "Betriebssystem" unterschiedliche verschränkte Quanten (z.B. "gefangenen Ionen" und "Farbzentren in Diamanten") miteinander verschränken könnte aber kann es das? Vermutlich nicht. Kann dieses "Betriebssystem" gleichartige Quantencomputer miteinander verschränken? Das wäre auch schon mal was aber das würde man doch dann so klarer benennen, oder? Das PDF (An operating system for executing applications on quantum network nodes) ist oberflächlich betrachtet super beeindruckend aber was funktioniert da real und wozu kann man es praktisch benutzen?

Quantencomputer erzeugt erstmals echte Zufallszahl

LOL. Ein verborgener/heimlicher Aprilscherz (der Artikelautor meint es vermutlich ernst). Algorithmische Zufallszahlengeneratoren sind gut genug und es kann auch (zusätzlich) elektronische Schaltungen dafür geben (die z.B. mit Rauschen arbeiten) - das reicht, Quantencomputer können da nicht mithalten, weil sie viel zu teuer und unpraktisch sind. Wie völlig untauglich Quantencomputer sind, sieht man daran, dass da seit Jahrzenten nix Brauchbares kommt, sondern nur gehypter Blödsinn.

Bin ich vielleicht nur zu doof und kapiere es nicht? Das glaube ich nicht (auch wenn mein IQ derzeit nicht so super hoch sein mag).

Was sagen KI zu Quantencomputern? Man sollte KI mal systematisch zu strittigen Themen (Quantencomputer, Relativitätstheorie, CO2-Wahn, Wirtschaftssystem/Thesen, Finanzsystem/Thesen, UFOs, Kornkreisen, Existenz Gottes, usw.) befragen, bzw. KI eine Expertise mit Fazit und ggf. Lösungen dazu erstellen lassen - vielleicht eine Methode, um festzustellen, wann KI besser werden und erfolgreich nachdenken können. Schön, wenn KI allgemeine Infos passend zu Fragen zusammenfassen können aber das reicht nicht. (alles imho)

 

[Lupo]

@Giacomo_S

Danke für die Erläuterungen!

Mein Eindruck ist, dass die Zahlentheorie so etwas wie die Kreuzworträtselecke der Mathematik ist. So ähnlich, wie das Anfertigen und Lösen eines Kreuzworträtsels sicherlich nicht die effizienteste Art ist, eine Wortliste zu erstellen und zu erfassen, aber eben ihren ganz eigenen Reiz, fernab von jedem praktischen Nutzen hat. Hier ist die Mathematik eben nur noch hochintellektuelle Beschäftigung, die wahrscheinlich auch genauso süchtig machen kann wie Computerspiele …

Für jemanden, der sich für die Wunder und Schönheiten der Welt der reinen Mathematik nicht interessiert, sondern einfach nur Ergebnisse haben will, ist das alles recht unverständlich. Man sieht doch, dass wir eine quadratische Tabelle haben. Die Anzahl der Elemente in der Tabelle entspricht dem Quadrat der Zahl der Zeilen und Spalten. Ich brauche also nur die Zeilen oder Spalten zu zählen, und dazu brauche ich keine bestimmte Zählweise. Das nutzt mir aber nichts, weil damit nicht fertig werde. Aber mir ist schon klar, dass ich damit wie der Elefant quer durch den zahlentheoretischen Porzellanladen gelatscht bin. Aber es ist auch klar, dass der Zweig der Mathematik, der sich der Regelhaftigkeit des Unverständlichen widmet, genau der passende für die Kryptografie ist.

So, wie ich den Gödel bislang verstanden zu haben glaubte, ging es darum, dass sich die Werte der rationalen Zahlen als Bruch schreiben lassen. Damit ist der Wert exakt festgelegt und ich kann einen Strich in meine Liste der durch Zahlen exakt beschriebenen Werte machen. Bei einer Zahl pi geht das nicht, hier könnte ich mich zwar durch Brüche beliebig annähern, aber eben nicht exakt. Also gibt es dafür keinen Strich in der Liste der durch Zahlen exakt beschriebenen Werte. Wenn ich nun die Brüche in Form einer Tabelle aufschreibe, kann ich von Bruch zu Bruch springen und dabei mitzählen. Bei pi geht das gar nicht, weil es keinen Tabellenplatz dafür gibt, dafür aber unendlich viele Brüche, die pi mehr oder weniger gut annähern. Ich bin da also restlos aufgeschmissen und kann keinen Sprung machen, den ich zählen könnte.

Wenn ich nun die Tabelle verallgemeinere und statt Zeilen und Spalten eine x- und y- Achse nehme, dann ergeben die natürlichen Zahlen auf den Achsen ein Karomuster in der Fläche. Und auf jedem Kreuzungspunkt sitz eine Rationale Zahl, die ich genau bezeichnen kann. Für jeden anderen Punkt dieser Fläche habe ich keinen Namen. Die Fläche wird nicht kleiner, wenn ich Punkte der rationalen Zahlen herausmehme. Selbst, wenn ich nur ein begrenztes Gebiet in der Fläche betrachte: Dann hat dieses Gebiet unendlich viele Punkte, und darunter eine tatsächlich abzählbare Anzahl von Punkten mit raionalen Zahlen. Wenn ich die rationalen Zahlen irgendwie daraus entferne, bleiben immernoch unendlich viele Punkte übrig, die für Werte stehen, für die ich keine Zahl habe.

Tja. Und an dieser Stelle latscht bei mir wieder besagter Elefant durch den mathematischen Porzellanladen: Genau das ist ja auch die Definition der rationalen Zahlen als Teilmenge aller Zahlen! Ich betrachte also Zahlen, die ich nach Definition herausgegriffen habe und wundere mich jetzt, dass sie genau die Eigenschaften haben, die ich definiert habe … eine gewisse Selbstreferenzialität ist dem Ganzen nicht abzusprechen.

Obwohl natürlich auch interessant ist, dass es in der Tabelle wie im Zahlenfeld jede Menge Doubletten gibt. Das Feld oder die Tabelle zeigt ja keine Zahlen, sondern Zahlenverhältnisse. Und Brüche, die sich kürzen lassen, verweisen auf die selbe Zahl. 1/4 = 2/8 = 3/12 usw. Wäre interessant, wie das aussehen würde, wenn man das in der Tabelle oder im Feld berücksichtigen würde. Das müssten doch tatsächlich Diagonalen sein …. ach, Schluss jetzt! Kein Wunder, dass Gödel einen an die Waffel gekriegt hat …

 

[Giacomo_S]

So, wie ich den Gödel bislang verstanden zu haben glaubte, ging es darum, dass sich die Werte der rationalen Zahlen als Bruch schreiben lassen. Damit ist der Wert exakt festgelegt und ich kann einen Strich in meine Liste der durch Zahlen exakt beschriebenen Werte machen. Bei einer Zahl pi geht das nicht, hier könnte ich mich zwar durch Brüche beliebig annähern, aber eben nicht exakt.

Bezugnehmend auf die Kritik des Mathematikers Kronecker kann man feststellen, dass die Rationalen Zahlen irgendwie "reale" Zahlen sind: Sie haben eine Art Beziehung zur Realität, 3 Äpfel, 5 Birnen oder eben 3 Äpfel, die man an 4 Leute verteilt, um mit einem 3/4 Apfel zum Ergebnis zu gelangen.
Mit den Irrationalen Zahlen sieht es aber anders aus.
Sie ergeben sich erst durch irgendeine Berechnung, z.B. mit Pi als dem Ergebnis des Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises oder Wurzel 2 als der Länge der Diagonale im Quadrat.

Die Altägypter hatten noch kein Verständnis für die Zahl Pi, dennoch haben sie sich aus praktischen Erwägungen mit den Merkwürdigkeiten von Kreisen beschäftigt. Es gibt den überlieferten Papyrus Rhind, in dem es neben anderen mathematischen Aufgaben um die Berechnung des Volumens eines Getreidespeichers geht.
Das Verfahren läuft auf eine (nicht exakte) Näherung an Pi hinaus, allerdings mit einem Fehler <1%, was für praktische Anwendungen dieser Art mehr als ausreichend ist.

Als der historisch erste, der sich mit Pi auseinandersetzte, gilt Archimedes. Sein genialer Näherungsversuch basierte auf Innen- und Außen-Mehrecken, wobei er schließlich bei einem Siebzehneck landete. Um damit aussagen zu können: Der wahre Wert für das Verhältnis aus Umfang zu Durchmesser eines Kreises ist größer als rx und kleiner als yz.
Seitdem hat man Pi auf viele Stellen berechnet, mit moderner Computerunterstützung auf viele Millionen Stellen. Früher im Mathematikunterricht gab es die Aussage, es müsse die Ziffern 0-9 in ihr aufeinderfolgend irgendwo geben - mittlerweile hat man sie gefunden, 0123456789, irgendwo bei der 4-Millionsten Stelle.
Man hat vorhergesagt, wieviele Stellen man rein theoretisch für Pi überhaupt berechnen kann (dann so viele, dass man alle Neutrinos des Universums für ihre Darstellung verwendet). Dennoch kann man auch jenseits dieses Bereichs Pi berechnen, dann aber nur einzelne Ziffern.

In der physikalischen Welt jedoch wird die Zahl Pi - unendlich und sich nicht wiederholend - jenseits der etwa 65. Stelle bedeutungslos: Denn dann hat man einen Kreis beschrieben, der das gesamte Universum mit der Genauigkeit der Planck-Länge umfasst.

Lange Rede, kurzer Sinn:
Wozu beschäftigt man sich überhaupt mit einer "transzendenten" Zahl, wenn sie bereits nach "nur" 65 Stellen völlig bedeutungslos wird, im praktischen Alltag sowieso bereits nach nur 4 oder 5 Stellen?
Offenbar deshalb, weil es ganz erhebliche Konsequenzen hätte, wäre es denn anders.

Der schweizer Mathematiker fand die Beziehung:

e^(i*Pi) +1 = 0

die sog. Eulersche Formel. Sie wurde durch verschiedene Beweise bestätigt - und keiner weiß, was sie bedeutet. Dennoch sind in ihr die Eulersche Zahl e, i, Pi, 0 und 1 - die wichtigsten Zahlen der Mathematik - in einer einzigen Formel vereint.

 

[MatScientist]

Zum Thema Kryptographie möchte ich noch anmerken, dass es Verfahren gibt, wo mehr Rechenleistung zum "knacken" einer Verschlüsselung garnix bringt, da die Verschlüsselung so konzipiert ist, dass keine Schlüssel beliebig oft durchprobiert werden können.

Beim One-Tap-Verfahren gibt es nur einen einzigen Entschlüsselungsversuch.
Das Anwenden eines Schlüssels führt zu einer unrückabwickelbaren Veränderung des Komplementärschlüssels.

So kommunizieren zB diplomatische Dienste. Man stellt so sicher, dass die Nachricht garantiert nicht von irgendwem anders gelesen wurde.