Giacomo_S
Ritter-Kommandeur des Tempels
- 13. August 2003
- 4.426
Ich kenne die Mathematik ja nur als Werkzeug und nicht als Selbstzweck.
Mathematiker, die A..löcher, werfen Dir eine Formel hin, mit der Vorbemerkung:
Es ist leicht einzusehen, dass ... xyz blie bla blue.
Nur tue ich mich leider sehr schwer damit, einzusehen, dass ... und nach rund drei Stunden der intensiven Meditation finde ich dann am Rande ein Zipfelchen, an dem ich mich vllt. in einer Art Münchhausen-Simulation an den eigenen Haaren aus dem Sumpf ziehen kann.
Dennoch ist Cantors Zahlentheorie, populär aufbereitet, eigentlich ganz einfach.
Da gibt es die Menge der Reellen Zahlen (= Zahlen, die sich durch Brüche darstellen lassen), die unendlich groß ist. Cantor stellt in Folge sein Diagonalschema auf, in dem sich alle Reellen Zahlen abzählen lassen ... unendliche Zeit vorausgesetzt, natürlich. Er benennt die unendliche Menge der Reellen Zahlen "Aleph" (eine Anleihe aus dem hebräischen Alphabet, da Cantors Meinung nach alle anderen Buchstaben mittlerweile belegt sind).
Er zeigt: Die Reellen Zahlen sind abzählbar, unendliche Zeit vorausgesetzt.
Wobei es damals wie heute nicht nur unter Mathematikern umstritten ist, ob eine Beweismethode, die eine Unendlichkeit voraussetzt, überhaupt gültig ist.
Weiterhin kann Cantor zeigen,
- dass die irrationalen Zahlen nicht abzählbar sind.
- dass für die Menge der irrationalen Zahlen (Bet) gilt: Bet=2^Aleph.
Also: Die Menge der Reellen Zahlen ist zwar unendlich groß, es gibt aber Unterschiede selbst in den Unendlichkeiten. Er selbst nannte dies Mannigfaltigkeiten, heutzutage spricht man von Mächtigkeiten.
Daraus folgt die Frage, ob die Abfolge
Aleph, Bet, ....
in der aufgrund der Mengentheorie jedes Folgeglied 2^x des vorherigen ist, endlos so weiter geht oder endlich ist. Genau dies ist Cantors Kontinuumshypothese, die er selbst nie beweisen oder widerlegen konnte, sondern stattdessen immer wieder in der Nervenheilanstalt war.
Später konnte der Logiker Kurt Gödel (selbst ein Irrer) beweisen, dass Cantors Kontinuumshypothese nicht der geltenden Mathematik widerspricht. In den 60er Jahren konnte ein amerikanischer Mathematiker beweisen, dass deren Negation dies auch nicht tut. Cantors Hypothese ist also mit unserer Mathematik unbeweisbar, was tief blicken lässt.
Denn es bedeutet, dass im Prinzip eine seit der Antike verwendete Beweismethode der Mathematik - der Beweis durch das ausgeschlossene Dritte - ungültig ist.
Viele Grundlagen der Mathematik, darunter die Diagonale im Quadrat, sind bis heute aber nicht anders bewiesen.