Grundsatzfrage und keine Antwort?

[Giacomo_S]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Überhaupt: Was ist denn eigentlich eine Zahl?

Wir sind fest davon überzeugt, dass 2 + 2 = 4 ... aber was bedeutet es? Zwei Äpfel und zwei Äpfel sind vier Äpfel - aber bringe ich Birnen ins Spiel, dann funktioniert es schon nicht mehr. Denn zwei Äpfel und zwei Birnen sind ... vier Früchte und wir sehen ein: Es musste eine neue Kategorie her, damit die Rechnung aufgeht.

Mit dem abstrakten Zahlbegriff ist das so eine Sache. Betrachtet man den Zahlbegriff genauer, dann ist er untrennbar mit einer Kategorie verbunden.

 

[Ehemaliger_User]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Überhaupt: Was ist denn eigentlich eine Zahl?

Wir sind fest davon überzeugt, dass 2 + 2 = 4 ... aber was bedeutet es? Zwei Äpfel und zwei Äpfel sind vier Äpfel - aber bringe ich Birnen ins Spiel, dann funktioniert es schon nicht mehr. Denn zwei Äpfel und zwei Birnen sind ... vier Früchte und wir sehen ein: Es musste eine neue Kategorie her, damit die Rechnung aufgeht.

Mit dem abstrakten Zahlbegriff ist das so eine Sache. Betrachtet man den Zahlbegriff genauer, dann ist er untrennbar mit einer Kategorie verbunden.

Wenn aber 2 Kategorien in einer Rechnung sein sollen dann funktioniert das doch gar nicht mehr ? Am beispiel mit den Früchten. 2 Äpfel und 2 Birnen können dann doch gar nicht mehr addiert werden sondern sind schon die endsumme oder nicht ? würde man die Äpfel und Birnen jetzt als Kategorie Früchte nehmen dan nwürde das wieder passen denn 2 Früchte und 2 Früchte sind 4 Früchte.

Man müsste also die 2 Äpfel und 2 Birnen erstmal "Umwandeln" oder versteh ich da etwas nicht ?

2 Äpfel + 2 Birnen = 2 Äpfel UND 2 Birnen ???

 

[Aurum]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Überhaupt: Was ist denn eigentlich eine Zahl?

Reelle Zahl – Wikipedia

Du sprichst von natürlichen Zahlen 1-2-3-4-5-...

 

[Giacomo_S]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Reelle Zahl – Wikipedia

Du sprichst von natürlichen Zahlen 1-2-3-4-5-...

Stimmt.
„Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk."
Leopold Kronecker, 1823-1891, deutscher Mathematiker

Reelle Zahlen lassen sich mit Hilfe der Rationalen Zahlen und somit auch der Natürlichen Zahlen konstruieren.

 

[Aurum]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Taschenrechner...
Kleinstes R = 1/ (10 potenz A)
A für unendlich
damit erhält man 0,00...001 Zahlenwert

 

[Viminal]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Überhaupt: Was ist denn eigentlich eine Zahl?

Wir sind fest davon überzeugt, dass 2 + 2 = 4 ... aber was bedeutet es? Zwei Äpfel und zwei Äpfel sind vier Äpfel - aber bringe ich Birnen ins Spiel, dann funktioniert es schon nicht mehr. Denn zwei Äpfel und zwei Birnen sind ... vier Früchte und wir sehen ein: Es musste eine neue Kategorie her, damit die Rechnung aufgeht.

Mit dem abstrakten Zahlbegriff ist das so eine Sache. Betrachtet man den Zahlbegriff genauer, dann ist er untrennbar mit einer Kategorie verbunden.

Man beachte, dass die Operationen in formalen Systemen immer definiert sind. D.h. was z.B. der Plusoperator mit zwei Zahlen macht hat weniger mit Überzeugung zu tun sondern mehr damit was das Regelwerk für die Operation vorsieht. Es stimmt aber, dass die Operanden (hier die Zahlen) i.d.R. einen passenden Typ haben müssen.
Man kann aber z.B. die Plusoperation auch so definieren, dass auch dann ein Ergebnis rauskommt wenn die Typen nicht passen.
Am Beispiel mit dem 2 Äpfeln und 2 Birnen könnte man z.B. sagen dass das Ergebnis einer solchen Addition 0 ist - oder man denkt sich ein weiteres Zeichen aus, welches keine Zahl ist sondern eben einen solchen Sonderzustand darstellt. Die Informatik hat dafür den NULL-Wert geschaffen, der das fehlen eines richtigen Wertes darstellt.

Die Mengenlehre ist dazu übrigens auch recht interessant: Sieht man die Anzahl der Elemente einer Menge als deren Mächtigkeit, dann kann man sagen: Die ganze Zahl 4 wird repräsentiert durch die Menge aller Mengen deren Mächtigkeit 4 ist. Also man hat eine Menge, die alle Mengen mit der Mächtigkeit 4 enthält - die Menge von 4 Birnen, die Menge von 4 Äpfeln, von 4 Euro usw. Jedes Element dieser Menge ist also eine Ausprägung der Zahl 4.

 

[Aurum]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Algebra mit Variablen und Zahlen.
2 Äpfel + 2 Birnen
=2a + 2b
=2(a + b)
Saurer Most

hat aber nichts mit der kleinsten reellen Zahl zu tun...

 

[enothep]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Um nochmal auf meine Ausgangsfrage einzugehen, habe ich versucht darüber nachzudenken, wie ich die kleinste reelle Zahl rechnerisch erreichen könnte.

Schnell bin ich auf 1 minus 0,9-Periode gekommen. Probleme hatte ich dann jedoch beim Aufschreiben des Ergebnisses. Wie stelle ich das Ergebnis aus 1 - 0,9-Periode = .... dar?

Komischerweise ist es einfacher die letzte Zahl vor der eins abzubilden, als die erste reelle Zahl nach der Null! Nämlich 1/9-Periode.

Enothep

 

[Malakim]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Die Art wie wir heute Mathematik betreiben hat genau so Ihre Grenzen wie die Art vor Newton (und Leibnitz) (etwa dort liegt der Umbruch).
Die verschiedenen Zahlenräume sind Darstellungsmodelle und eben das was Du darstellen möchtest ist damit schlecht möglich.

Die Kreiszahl PI lässt sich ja auch nicht abschließend mit Zahlen darstellen, Geometrisch jedoch schon.

 

[Giacomo_S]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Schnell bin ich auf 1 minus 0,9-Periode gekommen. Probleme hatte ich dann jedoch beim Aufschreiben des Ergebnisses. Wie stelle ich das Ergebnis aus 1 - 0,9-Periode = .... dar?

gar nicht, respektive 1 - 0,9-Periode = 0.
Denn 0,9-Periode = 1.

Beweis (0,9p = 0,9-Periode):

Zunächst setzen wir:

x = 0,9p

Wir multiplizieren mit 10:

10 x = 0,9p x 10
10 x = 9,9p

wir subtrahieren rechts wie links x resp. 0,9p

10 x - x = 9,9p - 0,9p
9 x = 9
x = 1

- - - Aktualisiert - - -

Und das ist sogar im Prinzip der "strengere" Beweis, denn wir vermeiden andere periodische Zahlen und verschieben in Zeile 3 nur eine Dezimalstelle. Erlauben wir uns, auch andere periodische Zahlen ins Spiel zu bringen, dann wird der Beweis noch simpler. Außerdem kommen wir allein mit der Multiplikation aus:

0,3p = 1/3
0,3p x 3 = 1/3 x 3
0,9p = 3/3
0,9p = 1

 

[0lUCiFeRiSdEaTh1]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Immer die 1, egal wieviele Nullen dazwischen sind.

 

[rola]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

gar nicht, respektive 1 - 0,9-Periode = 0.
Denn 0,9-Periode = 1.

Du hast völlig richtig, die Differenz ist Null. Der Mathematiker liebt aber Eindeutigkeit in der Zahlendarstellung und lässt einen Dezimalbruch mit Neuerperiode gar nicht erst zu. Es gibt also nur die 1.

Bei deinem Beweis hat kann man sich in beliebig vielen Schritten o,9 ... 0,99 ... 0,999 ... der 1 annähern, 1 ist dann der Grenzwert.
Den Grenzwertbegriff hat übrigens die Antike nie gekannt. Ein bekanntes Beispiel für Paradoxin ist das von Achilles und die Schildkröte. Achilles holt die Schildkröte nie ein,was aber falsch ist. Achilles und die Schildkrote – Wikipedia

Um das Problem mal zu weiten: Bestimme die kleinste oder die größte Zahl im offenen Intervall (a,b) - Die gibt es aber nicht. Es gibt kein Mninimum oder Maximum. Dafür aber die Grenzwerte a und b, genannt Limit inferium oder Limit superium (unterste und oberste Grenze).

 

[GerhardLoeffler]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Welche Zahl folgt als erste (reelle) Zahl nach der Null?

1

"Alle Elementargrößen und überhaupt alle entscheidenden Größen des Weltalls sind vom Ursprung her bestimmt. Damit sind Elementarmasse, Elementarlänge und Elementarzeit als kosmische Elementar-Einheiten gegeben. Darin liegt auch das Geheimnis begründet, warum die Naturkonstanten c und h diejenigen Zahlenwerte besitzen, die sie eben besitzen: sie sind im absoluten Ur-Maßsystem einfach alle 1; weil und wie Elementarmasse, Elementarlänge und Elementarzeit je gleich 1 sind.

Warum diese Elementar-Einheiten der Länge (Raum), Masse (Energie) und Dauer (Zeit) etwa in unserem Zentimeter-Gramm-Sekunden-Maßsystem so krumme Zahlenwerte besitzen, ist gar keine physikalische, sondern nur eine historische Frage: warum die Menschen miteinander übereingekommen sind, den 1 000 000 000sten Teil des Erdquadranten als Längen-Einheit "Zentimeter" (cm), die Menge von einem Kubik-Zentimeter Wasser als Massen-Einheit "Gramm" (g), den 24·60·60sten Teil einer Erdumdrehung als Zeit-Einheit "Sekunde" (sec) fiktiv festzulegen - und alles in diesem "c-g-s-System" auszudrücken.

Wichtige Probleme der Physik lösen sich oft ganz von selbst, wenn man sie nur in den kosmischen Elementareinheiten des Ur-Maßsystems ausdrückt, also in Größen mit der natürlichen 1-Wertigkeit."

Bernhard Philbert, DER DREIEINE, Seite 263

Leopold Kronecker: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk."

.....

 

[lumin]

Nach 0 folgt 1/(10 hoch unendlich)

kleines Lebenssignal

 

[enothep]

1/10 (hoch unendlich) ist keine Zahl...wieder auf Anfang.