Hallo,
bei meinen Grundlagenforschungen zur Logik und Mathematik bin ich auf die Rolle des Gleichheitsoperators gestoßen, der mir sehr grundlegend zu sein scheint.
In vielen Definitionen wird z.B. eine Eigenschaft oder Beziehung "für alle x" verlangt, wobei x bestimmte Eigenschaften hat (z.B. eine Menge zu sein).
Um aber diese x voneinander unterscheiden zu können, benötigt man wohl einen Gleichheitsoperator.
Ungleichheit von x und y lässt sich meist relativ schnell feststellen, dazu genügt eine unterschiedliche Eigenschaft von x und y, d.h. dazu muss ich nicht unbedingt alle Eigenschaften von x und y kennen.
Aber bei evtl. unendlich vielen Eigenschaften von x und y ist die Feststellung der Gleichheit ein evtl. ziemlich komplexes Unterfangen.
Dennoch verstehen wir intuitiv was mit Gleichheit gemeint ist.
Ein konkretes Beispiel sind die Einermengen M1, die genau ein Element e1 besitzen. D.h. ein beliebiges x (Gedanke, Vorstellung, mathematisches Objekt, ...) ist genau dann Element von M1, wenn x=e1 gilt.
Schon erstaunlich, dass dabei der Gleichheitsoperator auf so wenig genau beschriebene "Dinge" wie x angewandt werden kann.
Ich vermute, dass dies dadurch möglich wird, dass wir mit e1 ja ein konkretes (definiertes) Element als Vergleichsstück haben.
Dennoch darf dabei auch e1 unendlich viele Eigenschaften haben.
Aber vielleicht haben für uns Menschen verständliche "Dinge" oder "Gedanken" die Eigenschaft, eine endliche Darstellung zu besitzen?
So wie man die Menge der natürlichen Zahlen mittels endlich vieler Axiome beschreiben kann? (Allerdings spielen dabei Einermengen u.ä. eine zentrale Rolle...)
Im Moment forsche ich hauptsächlich im Umfeld der Mengenlehre, aber vielleicht kommen Anregungen ja auch aus ganz anderen Gebieten?
Gruß
Trestone
bei meinen Grundlagenforschungen zur Logik und Mathematik bin ich auf die Rolle des Gleichheitsoperators gestoßen, der mir sehr grundlegend zu sein scheint.
In vielen Definitionen wird z.B. eine Eigenschaft oder Beziehung "für alle x" verlangt, wobei x bestimmte Eigenschaften hat (z.B. eine Menge zu sein).
Um aber diese x voneinander unterscheiden zu können, benötigt man wohl einen Gleichheitsoperator.
Ungleichheit von x und y lässt sich meist relativ schnell feststellen, dazu genügt eine unterschiedliche Eigenschaft von x und y, d.h. dazu muss ich nicht unbedingt alle Eigenschaften von x und y kennen.
Aber bei evtl. unendlich vielen Eigenschaften von x und y ist die Feststellung der Gleichheit ein evtl. ziemlich komplexes Unterfangen.
Dennoch verstehen wir intuitiv was mit Gleichheit gemeint ist.
Ein konkretes Beispiel sind die Einermengen M1, die genau ein Element e1 besitzen. D.h. ein beliebiges x (Gedanke, Vorstellung, mathematisches Objekt, ...) ist genau dann Element von M1, wenn x=e1 gilt.
Schon erstaunlich, dass dabei der Gleichheitsoperator auf so wenig genau beschriebene "Dinge" wie x angewandt werden kann.
Ich vermute, dass dies dadurch möglich wird, dass wir mit e1 ja ein konkretes (definiertes) Element als Vergleichsstück haben.
Dennoch darf dabei auch e1 unendlich viele Eigenschaften haben.
Aber vielleicht haben für uns Menschen verständliche "Dinge" oder "Gedanken" die Eigenschaft, eine endliche Darstellung zu besitzen?
So wie man die Menge der natürlichen Zahlen mittels endlich vieler Axiome beschreiben kann? (Allerdings spielen dabei Einermengen u.ä. eine zentrale Rolle...)
Im Moment forsche ich hauptsächlich im Umfeld der Mengenlehre, aber vielleicht kommen Anregungen ja auch aus ganz anderen Gebieten?
Gruß
Trestone