Grundsatzfrage und keine Antwort?

[enothep]

Liebes Forum,

eine grundsätzliche Frage, auf die ich schon seit geraumer Zeit eine Antwort suche - vielleicht könnt ihr helfen?

Welche Zahl folgt als erste (reelle) Zahl nach der Null?

Ich bin auf Eure (ernst gemeinten) Antworten gespannt.

Enothep!

 

[Nachbar]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Die Eins (1)?
Ehrlich gesagt verstehe ich dein Problem nicht.

 

[Grubi]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Hi

Es gibt den Begriff natürliche Zahl, dazu kann man hier z.B. etwas nachlesen Zahlenmengen und ihre Eigenschaften - Lernpfad
Ich stimme Nachbar zu, es ist definitiv die 1.

Gruss Grubi

 

[enothep]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Naja, die Eins wollte ich als Antwort nun gerade nicht hören, da sie nicht die erste (reelle) Zahl nach der Null ist. Ich habe irgendwann bei 0,00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001 aufgehört nachzudenken, welche Zahl die erste nach der Null sein könnte, da ich schlichtweg kein Ende gefunden habe.

Enothep

 

[Ehemaliger_User]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

0,00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001

Häng nach dem Komma lieber noch ein paar Nullen dran der genauigkeit wegen ^^

 

[Giacomo_S]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Liebes Forum,

eine grundsätzliche Frage, auf die ich schon seit geraumer Zeit eine Antwort suche - vielleicht könnt ihr helfen?

Welche Zahl folgt als erste (reelle) Zahl nach der Null?

Ich bin auf Eure (ernst gemeinten) Antworten gespannt.

Enothep!

Eine erste reelle Zahl nach der Null kann es nicht geben. Denn allein zwischen 0 und 1 gibt es bereits unendlich viele reelle Zahlen. Dies gilt allerdings bereits auch für die rationalen Zahlen. Daher kann es auch keine erste rationale Zahl nach der Null geben.

Außerdem:
Die Mengen der rationalen Zahlen und der reellen Zahlen sind zwar beide unendlich groß. Dennoch unterscheiden sich die beiden Mengen. Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar (unendliche Zeit vorausgesetzt, CANTORsche Diagonalisierung), die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar (=nicht mehr abzählbar).
Die Menge der rellen Zahlen hat eine höhere Mächtigkeit als die Menge der rationalen Zahlen. Setzt man die Mächtigkeit der rationalen Zahlen auf Aleph(0) und die der rellen Zahlen auf Aleph(1), so gilt:

2^Aleph(0) = Aleph(1)

Geht dies immer so weiter? Mit einem Kontinuum der Mengen? c = Aleph(0), Aleph(1), Aleph(2) ...
Das ist die sog. Kontinuitätshypothese.
CANTOR verlor über diese Frage mehrmals den Verstand und war immer wieder zeitweise in der Nervenheilanstalt. Kurt Gödel (der sich zu Tode hungerte in der Meinung, man wolle ihn vergiften) fand einen teilweisen Lösungsansatz, ein amerikanischer Mathematiker konnte in den 60ern zeigen:

Die Kontinuitätshypothese ist mit unserer Mathematik und Mengenlehre nicht entscheidbar, das heißt die Axiome der Mengenlehre erlauben in dieser Frage keine Entscheidung.

Ein Ergebnis mit weitreichenden Konsequenzen.
Stellt sich heraus, das es in der Mathematik prinzipiell Aussagen geben kann, die nicht entscheidbar sind, dann ist prinzipiell die Methode des ausgeschlossenen Dritten nicht mehr gültig. Es handelt sich allerdings um eine Beweisführung, die seit Beginn der griechischen Mathematik vor rund 2.500 Jahren angewendet wurde und wird. Es würden dann nur noch "positive" Beweise gelten. Viele Aussagen konnten in der Geschichte der Mathematik noch nicht positiv bewiesen werden, sondern nur indirekt über den Beweis des ausgeschlossenen Dritten.
Übrigens wurde auch die Irrationalität der Länge der Diagonale im Quadrat so bewiesen - der erste Anlass, der die Frage nach den irrationalen Zahlen erstmalig aufwarf.

 

[rambaldi]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Welche Zahl folgt als erste (reelle) Zahl nach der Null?

Was ist die letzte Zahl vor unendlich?

 

[Popocatepetl]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

unendlich - 1, dummerchen...

 

[enothep]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Eines vorab - "unendlich" ist keine Zahl auch wenn es unendlich viele Zahlen gibt. Den Hinweis von Giacomo fand ich dabei schon hilfreicher über die Kardinalzahl Aleph nachzudenken. Obwohl Aleph eher in die andere Richtung geht und nicht zur Null führt.

Eine erste reelle Zahl nach der Null kann es nicht geben. Denn allein zwischen 0 und 1 gibt es bereits unendlich viele reelle Zahlen. Dies gilt allerdings bereits auch für die rationalen Zahlen. Daher kann es auch keine erste rationale Zahl nach der Null geben.

Danke für diese und deine weitergehende Antwort Giacomo. Wenn es demnach keine erste reelle Zahl gibt, die nach der Null folgt, gibt es vor dem Hintergrund, dass es unendlich viele Zahlen gibt, keine kleinste oder größte reelle Zahl, richtig? Das möchte ich aber stark bezweifeln! Ich vermute eher, dass die Standard-Mathematik keine triviale Antwort auf meine Frage geben kann. Wo kann ich weiter suchen? Kennt sich jemand mit hyperreellen oder surealen Zahlen aus?

Enothep

 

[Popocatepetl]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

muss passen...

 

[Viminal]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Wenn es demnach keine erste reelle Zahl gibt, die nach der Null folgt, gibt es vor dem Hintergrund, dass es unendlich viele Zahlen gibt, keine kleinste oder größte reelle Zahl, richtig? Das möchte ich aber stark bezweifeln!

Seh ich jedenfalls so. Die Null brauchst Du dazu aber nicht: Die reellen Zahlen beinhalten ja auch die ganzen Zahlen - und allein die gehen ja schon von "Minus unendlich" bis "Plus unendlich" - ergo gibt es keine kleine oder größte reelle Zahl.

Gegenfrage: Warum brauchst Du unbedingt eine kleinste und größte reelle Zahl?

In der Praxis übrigens gibt es i.d.R. durchaus die von dir gewünschten Begrenzungen - z.B. haben Computer bei der Darstellung von Zahlen immer einen Bereich über den sie nicht hinausgehen können.

Zum Weitersuchen würde ich erstmal den Klassiker empfehlen: Aus der nächsten Uni-Bibliothek Mathematiklehrbücher leihen, vorzugsweise solche welche sich mit dem Thema befassen.

 

[enothep]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Ausgangspunkt meiner Überlegung war die Aussage eines Bekannten, dass wir unter Berücksichtigung aller reellen Zahlen es niemals schaffen werden von Eins rückwärts bis Null zu zählen, da wir zum einen die letzte Zahl vor der Eins und zum anderen die erste Zahl nach der Null durch „einfaches“ Zählen nie erreichen können bzw. kennen. Strenggenommen sind wir unter Berücksichtigung aller reellen Zahlen nicht einmal in der Lage, mit dem Zählen beginnen zu können. Wir wissen de facto nichts über die erste Zahl nach der Null oder die letzte Zahl vor der Eins. Zwangsläufig drängt sich der Punkt auf, dass im Zahlenraum aller reeller Zahlen irgendwann Null = Eins ist. Paradox und unglaublich…

Was ist also Mathematik - unter Berücksichtigung dieses Paradoxon: ein willkürliches Produkt verschiedenster Festlegungen und Axiome unserer Gedanken ohne Wirklichkeit. Trotzdem funktioniert sie in unserem Alltag!?

 

[Viminal]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Ausgangspunkt meiner Überlegung war die Aussage eines Bekannten, dass wir unter Berücksichtigung aller reellen Zahlen es niemals schaffen werden von Eins rückwärts bis Null zu zählen, da wir zum einen die letzte Zahl vor der Eins und zum anderen die erste Zahl nach der Null durch „einfaches“ Zählen nie erreichen können bzw. kennen. Strenggenommen sind wir unter Berücksichtigung aller reellen Zahlen nicht einmal in der Lage, mit dem Zählen beginnen zu können. Wir wissen de facto nichts über die erste Zahl nach der Null oder die letzte Zahl vor der Eins.

Soweit d'accord.

Zwangsläufig drängt sich der Punkt auf, dass im Zahlenraum aller reeller Zahlen irgendwann Null = Eins ist. Paradox und unglaublich…

Sehe ich nicht so. Warum sollte das so sein?

Was ist also Mathematik - unter Berücksichtigung dieses Paradoxon: ein willkürliches Produkt verschiedenster Festlegungen und Axiome unserer Gedanken ohne Wirklichkeit. Trotzdem funktioniert sie in unserem Alltag!?

Ein willkürliches Produkt ist die Mathematik nicht, aber sehr wohl ein theoretisches Konstrukt welches in sich logischen und konsistenten Regeln folgt. Allerdings stößt die Mathematik dabei durchaus auf prinzipielle Grenzen - siehe z.B. Gödelscher Unvollständigkeitssatz (wikipedia).

Die Mathematik an sich hat im gewissen Sinne tatsächlich keine Wirklichkeit - in der Praxis wird sie ja auch immer nur angewendet. Z.B. kannst Du mit der Mathematik einen Kreisumfang berechnen - und zwar dank der reellen Zahlen so genau, dass Du dein Ergebnis irgendwann nicht mehr messen kannst und dich dafür entscheiden musst ab irgendeiner Kommastelle abzuschneiden, weil der Rest für die Realität keine Relevanz hat.
Oder nehmen wir das Wurzelziehen: Die Mathematik bietet für die Wurzel aus 4 die Lösungen 2 und -2 an, allerdings ist für alle praktischen Probleme die -2 keine Lösungsmöglichkeit. Welche Kantenlänge hat ein quadratisches Segeltuch mit dem Flächeninhalt 4m²? Natürlich 2m, nicht aber -2m, da dies in der Realität nicht möglich ist.

Und selbst beim Addieren mit natürlichen Zahlen materialisieren sich ja nicht die Zahlen selbst, sondern Du repräsentierst irgendetwas damit - z.B. Schafe. Du hast zwei Weiden mit Schafen. Du zählst beide und repräsentierst jede Herde dann mit einer Zahl, z.B. 20 und 30. Dann kannst Du mit Hilfe des formalen Systems der Arithmetik ausrechnen wie viele Schafe es insgesamt sind. Du hast also ein theoretisches Konstrukt auf die Praxis angewendet. Die Zahlen 20 und 30 an sich kannst Du aber trotzdem nicht anfassen und das Addieren ist auch kein Vorgang in der Realität an sich (abgesehen von den Energieumwandlungen die im Rechenapparat dafür notwendig sind).

Insgesamt ein faszinierendes Thema mit viel philosophischen Potential. Allerdings Vorsicht vor impulsiven Fehlschlüssen nur weil irgendwelche Aussagen der Intuition widersprechen.
Ein tolles Buch ist auch: "Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band" von Douglas R Hofstadter

 

[Giacomo_S]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Wenn es demnach keine erste reelle Zahl gibt, die nach der Null folgt, gibt es vor dem Hintergrund, dass es unendlich viele Zahlen gibt, keine kleinste oder größte reelle Zahl, richtig? Das möchte ich aber stark bezweifeln!

Ja und Nein. Es kommt darauf an, was man unter der Existenz einer Zahl verstehen will.

Zur Veranschaulichung erkläre ich den Aspekt einmal anhand der Zahl PI:

1. Wie wir alle wissen, ist die Zahl PI 3,1415926535... eine nichtperiodische Zahl mit unendlich vielen Stellen. Soweit die Mathematik...

2. Physikalisch sieht es aber anders aus. Denn jenseits ca. der 65. Stelle hat PI im physikalischen Sinne keine Bedeutung mehr: Denn mit 65 Stellen können wir einen Kreis beschreiben mit dem Durchmesser des sichtbaren Universums (13,7 Mrd. Lichtjahre) mit der Genauigkeit einer Planck-Länge (theoretisch-physikalisch kleinstmögliche Länge). In diesem Universum gibt es keine größeren Kreise mehr und mit höherer Genauigkeit.

3. Ein anderer Aspekt ist die rein physikalisch mögliche Darstellbarkeit einer Zahl.
Nehmen wir an, ich berechne fortlaufend alle Stellen der Zahl PI und drucke sie auf ganz gewöhnlichen DIN A4-Bögen, Papiergewicht 80 g / m2, aus. Ein Bogen des Formats DIN A0 hat genau 1 m2 und entspricht 16 Bogen DIN A4. Nehmen wir an, ich drucke beidseitig, dann sind das 32 Seiten - auf die ich ca. 1.000 Zeichen/Seite drucke. Folgerichtig bekomme ich dann auf 80 g Papier 32.000 Zeichen.
Die Weltpapierproduktion betrug im Jahr 2013 rund 400 Millionen Tonnen.
Wir rechnen aus: Bei 160.000.000.000.000.000 = 1,6 x 10^17 Stellen der Zahl PI ist mit dieser Methode Schluss: Ich habe die gesamte, jährliche Weltpapierproduktion zur Darstellung der Zahl PI verbraucht.

4. Aber ich muss ja nicht, zumindest rein hypothetisch nicht, mit Papier arbeiten. Nehmen wir an, ich nähme Elementarteilchen zur Darstellung, z.B. Neutrinos. Als "Magier des Universums" wandle ich mal ebens kurz die gesamte Masse des Universums in Neutrinos um und verwende alle so gewonnenen Neutrinos zur Darstellung der Zahl PI.
Das möchte ich jetzt hier nicht ausrechnen, nehme aber mal an, das irgendwo im Bereich von 10^150 Stellen (um ein paar Hundert mehr oder weniger kommt es in diesen Dimensionen jetzt auch nicht mehr an) Schluss ist. Ich habe das gesamte Universum zur Darstellung der Zahl PI verwendet, mehr geht nicht.

5. Wahrscheinlich dürfte es aber nicht einmal soweit kommen. Denn berechnen muss ich die Zahl PI ja auch. Einer der bekanntesten Algorithmen ist der von Leibniz (1682):

Allerdings hat dieser Algorithmus den Nachteil, das man Tausende von Berechnungen durchführen muss, um nur eine Stelle zu berechnen - und er dazu noch immer langsamer und langsamer und langsamer wird ...

Seit 1682 hat sich jedoch auch was getan. Mittlerweile gibt es effizientere Algorithmen, die, sagen wir mal rund 15 Stellen in einem Rechendurchlauf liefern.
Es lässt sich ein Computer vorstellen, mit Multi-Prozessoren atomarer Größe, von der Größe des Universums, der mit Lichtgeschwindigkeit rechnet, seit Anbeginn des Urknalls ... ich bezweifle, dass wir in die Größenordnung von 10^150 Stellen kommen werden.
Denn das Universum ist überhaupt erst höchstens 10^17 Sekunden alt.

6. Verrückterweise lässt sich dennoch sagen, welche Ziffer beispielsweise an der 10^183 + 17ten Stelle steht. Denn man muss nicht alle Stellen der Zahl PI berechnen, um das angeben zu können. Es gibt Algorithmen, die den Wert einer einzelnen Ziffer an einer beliebigen Stelle der Zahl PI berechnen können.

Auf das Problem einer "größten reellen Zahl" bezogen, lässt sich daher sagen:
Im mathematischen Sinn kann es eine solche Zahl nicht geben: Nenn' mir eine, ich zähle eine 1 hinzu!
Im physikalischen Sinn gibt es sehr wohl eine "größte reelle Zahl". Sie wird durch ihre Darstellbarkeit und/oder Berechenbarkeit begrenzt, und wenn ich die Möglichkeiten aus Mikrokosmos und Makrokosmos des Universums ausgereizt habe, dann ist Schluss. Und es lässt sich die Größenordnung angeben, wie viele Stellen diese Zahl besitzen kann.

 

[Aurum]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

was spricht gegen 1/unendlich?
...bis dass der Lehrer gestorben ist....
†

- - - Aktualisiert - - -

unendlich ist zwar keine Mathe, sondern ein wissenschaftliches Zeichen

 

[enothep]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

was spricht gegen 1/unendlich?
...bis dass der Lehrer gestorben ist....
†

- - - Aktualisiert - - -

unendlich ist zwar keine Mathe, sondern ein wissenschaftliches Zeichen

Hallo Aurum,

unendlich ist keine Zahl. Es gibt unendlich viele Zahlen aber nicht die Zahl unendlich!

Gruß Enothep

 

[enothep]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Ja und Nein. Es kommt darauf an, was man unter der Existenz einer Zahl verstehen will.

Hallo Giacomo!

Danke für deine wirkliche interessante Ausführung zu PI. Physikalisch betrachtet gebe ich dir nur begrenzt recht. Solang wir uns im "Reich der Atome" bewegen, stimme ich dir mit deinem gewählten Beispiel zu. Aber damit ist ja noch längst keine Grenze erreicht. Auch nach den Atomen geht es weiter und weiter und weiter...wo ist also strenggenommen der physikalische Nullpunkt?

Gruß Enothep

 

[Aurum]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

unendlich ist keine Zahl. Es gibt unendlich viele Zahlen aber nicht die Zahl unendlich!

Mach den "Term" unendlich gross, irgendwie "X hoch unendlich" - würde aber behaupten, dass unendlich eine unbestimmte Zahl ist.
1/1 hoch unendlich
Lass den Lehrer rechnen

Im Prinzip kann die Aufgabe nur wissenschaftlich angegangen werden, da es keine kleinste reelle Zahl geben kann
"unlösbar" auch eine Lösung

 

[Giacomo_S]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

Hallo Giacomo!

Danke für deine wirkliche interessante Ausführung zu PI. Physikalisch betrachtet gebe ich dir nur begrenzt recht. Solang wir uns im "Reich der Atome" bewegen, stimme ich dir mit deinem gewählten Beispiel zu. Aber damit ist ja noch längst keine Grenze erreicht. Auch nach den Atomen geht es weiter und weiter und weiter...wo ist also strenggenommen der physikalische Nullpunkt?

Gruß Enothep

Stimmt, aber irgendwann ist Schluss.
Das sind dann eben ein paar Potenzen mehr, aber das Ende der Darstellbarkeit einer Zahl ist dann erreicht.

 

[Aurum]

AW: Grundsatzfrage und keine Antwort?

weshalb? Scroll-Screening - darauf, dass auf alle Ewigkeiten Nullen das Bild füllen.